热应力¶
引言
- 外力引起的应力和变形：纯弹性问题
- 温度变化引起的应力和变形：热弹性问题
- 温变导致变形，变形产生热量，双向耦合 > 昂萨格倒易关系（Onsager Reciprocal Relations）
- 简化处理：变形不产生热量：非耦合理论
热力耦合鼻祖：
- Jean-Marie-Constant Duhamel (1797-1872)
- Franz Ernst Neumann1 (1798-1895)
线性热弹性力学：方程、定解条件都是线性
- 热传导方程 + 定解条件 \(\implies\) 温度场
- 考虑温度荷载的弹性力学平衡方程 \(\implies\) 应力场
11-1 热传导方程及其定解条件¶
非耦合理论的热传导方程
\[ \begin{equation} \label{eq:heat-conduction} \tag{11.1.1} \frac{\partial \tau}{\partial t} = a \nabla^2 \tau + \frac{W}{c_{\mathrm{p}} \rho} \end{equation} \]
- \(\tau(x, y, z, t)\)：温度
- \(W(x, y, z, t)\)：单位时间单位体积的热源的发热量，即热源强度
- \(a = \lambda / (c_{\mathrm{p}} \rho)\)：热扩散率
初始条件：\(\tau(x, y, z, t_0) = f(x, y, z)\)
边界条件¶
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已知边界处的温度
\[ \tau(x, y, z, t) = \phi(x, y, z, t), \quad (x, y, z) \in S \] -
已知边界处的热流密度
\[ q_\nu(x, y, z, t) = - \lambda \frac{\partial \tau}{\partial \nu} = \psi(x, y, z, t), \quad (x, y, z) \in S \]若为绝热边界，则 \(\psi \equiv 0\)
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对流边界条件
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就是 Neumann 函数 \(N_\nu\) 的那个 Neumann！Neumann 边界条件是 Karl Neumann，他的儿子。 ↩