弹性波的传播¶
引言
- 弹性静力学：弹性场与时间无关
- 准静态处理：弹性场与时间有关，但不计惯性力
- 弹性动力学：考虑惯性力
- 振动 vs. 波动（一体两面，描述的角度不同）
- 振动：质点或物体在平衡位置附近的来回运动
- 振动在介质中的传播
- 振动解和波动解可以相互转化
- Poisson
- Rayleigh
- Lamb
- Love
- Achenbach
12-1 无限弹性介质中的纵、横波¶
以位移表示的运动微分方程
\[ \begin{equation} (\lambda + G) \nabla \theta + G \nabla^2 \boldsymbol{U} = \rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{U}}{\partial t^2} \end{equation} \]
纵波¶
假设波沿 \(x\) 方向传播，则位移为
\[ u = u(x, t), \quad v = 0, \quad w = 0 \]
纵波是无旋的膨胀波，横波是等容的畸变波
12-5 表面波¶
有边界条件！
- Bulk wave: 如横波、纵波，在整个介质中传播的波
- Guided wave: 表面波、介质波导中的波
在表面附近传播，振幅随着离开表面的距离增加而指数衰减的波
表面波的求解¶
Lamé 分解：\(\boldsymbol{U} = \nabla \Phi + \nabla \times \boldsymbol{\Psi}\)
\[ \begin{aligned} u &= \frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial \Psi_3}{\partial y} - \frac{\partial \Psi_2}{\partial z} \\ v &= \frac{\partial \Phi}{\partial y} - \frac{\partial \Psi_3}{\partial x} + \frac{\partial \Psi_1}{\partial z} \\ w &= \frac{\partial \Phi}{\partial z} + \frac{\partial \Psi_2}{\partial x} - \frac{\partial \Psi_1}{\partial y} \end{aligned} \]
频散关系 \(\omega(k)\)
- 相速度 \(c_\mathrm{p} = \dfrac{\omega}{k}\)
- 群速度 \(c_\mathrm{g} = \dfrac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}\)
若 \(\omega\) 和 \(k\) 成正比，相速度是一个常数，只和材料性质有关
不同频率的波以不同速度传播，初始波包随时间演化弥散开来