弹性薄板的弯曲

引言

• 用三维的弹性力学方程描述薄板的弯曲非常复杂
• Sophie Germain (1776-1831)：控制方程
• Poisson
• Navier
• Kirchhoff：边界条件的解决
• von Kármán：大变形
• Mindlin：厚板

13-1 一般概念和基本假设

• 概念：板面、板边、板厚、中面
• 分类：厚板、薄板、膜板
• 变形：平面应力，小挠度弯曲

Kirchhoff 假设

薄板小挠度弯曲理论的假设：

1. 直法线假设：变形前垂直于薄板中面的直线段，在薄板变形后仍保持为直线，且垂直于弯曲变形后的中面，其长度不变（类似于梁弯曲的平截面假设）
2. 法向正应力很小，在计算应变时可忽略
3. 中面变形假设：中面内各点只有垂直位移（挠度）

13-2 基本方程的建立

应变

\[ \begin{aligned} \varepsilon_x &= \frac{\partial u}{\partial x}, \, \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \\ \gamma_{xy} &= \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned} \quad \underset{\text{直法线假设}}{\bbox[10px,border:2px dashed orange]{ \begin{aligned} \varepsilon_z &= \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \\ \gamma_{yz} &= \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} = 0, \, \gamma_{xz} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \end{aligned} }} \]

应力

面内应力

• 物理方程（平面应力问题）

\[ \begin{equation} \sigma_x = \frac{E}{1 - \nu^2} (\varepsilon_x + \nu \varepsilon_y), \quad \sigma_y = \frac{E}{1 - \nu^2} (\varepsilon_y + \nu \varepsilon_x), \quad \tau_{xy} = G \gamma_{xy} \end{equation} \]

这里忽略了横向应力 \(\sigma_z\)，但是横向应力是平衡外载荷所必需的！

推导薄板问题的假设可能会有些别扭，但是中厚板就没有这些问题了。用变分原理推导更自然

• 用挠度表示

\[ \begin{aligned} \sigma_x &= - \frac{E z}{1 - \nu^2} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) \\ \sigma_y &= - \frac{E z}{1 - \nu^2} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \right) \\ \tau_{xy} &= - \frac{E z}{1 + \nu} \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} \end{aligned} \]

板截面上的内力

思考：梁弯曲的“抗弯刚度”为什么不出现泊松比？如何从板的弯曲方程退化到欧拉-伯努利梁的弯曲方程？