变分法¶

引言

Fermat, 1662：几何光学中的最短时间原理
Newton, 1687：力学中的第一个变分问题
Johann Bernoulli, 1696：最速降线问题（The Brachistochrone Problem）\(\implies\) 变分学的起源
Euler, 1740s：等周问题（The Isoperimetric Problem）\(\implies\) 奠定变分学的基础
Maupertuis, 1744：最小作用量原理（The Principle of Least Action）
Lagrange, 1760-1761

变分法是有限元等数值解和半解析解的理论基础
将微分方程的定解问题转化为求泛函的极值问题
求近似解时，又进一步转化为求函数的极值问题，简化为线性代数方程组的求解

胡海昌，《弹性力学变分原理及其应用》

14-1 弹性体的虚功原理¶

静力可能的应力：满足平衡方程和边界条件的应力场

\[ \sigma_{ij,j}^s + F_i = 0, \quad \sigma_{ij}^s n_j = \bar{f}_i \quad (\mathbf{x} \in S_\sigma) \]

几何可能位移 \(u_i^k\) 及应变 \(\varepsilon_{ij}^k\)

\[ \varepsilon_{ij}^k = \frac{1}{2} (u_{i,j}^k + u_{j,i}^k), \quad u_i^k = \bar{u}_i \quad (\mathbf{x} \in S_u) \]

弹性体的虚功原理

在弹性体上，外力在任意一组几何可能位移上所作的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能位移所对应的应变上所作的功。

虚功方程

\[ \int_V F_i u_i^k \, \mathrm{d} V + \int_{S_\sigma} \bar{f}_i u_i^k \, \mathrm{d} S = \int_V \sigma_{ij}^s \varepsilon_{ij}^k \, \mathrm{d} V \]

Remarks

只用到了小变形假设，没有用到本构关系 \(\implies\) 适合于任何性质的材料
也可以利用虚功原理推导出平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条件 > 力学中，谁是第一性的？是力，还是能量？尚无定论。
当静力可能应力和几何可能位移恰好为真实情况时，