第二章 应力状态理论¶
确定弹性体的受力状态和变形需要考虑三 类基本关系：
- 平衡关系：力之间的平衡
- 几何关系：变形与位移的关系
- 物理关系：力与变形之间的相互联系
2-1 体力和面力¶
- 体力：作用在物体微粒体上的力
\[ \mathbf{p} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta \mathbf{P}}{\Delta V} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} V} \quad (\mathrm{N/m}^3) \]
例：重力、惯性力、电磁力
- 面力：作用在物体表面的分布力
\[ \mathbf{T} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta S} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{F}}{\mathrm{d} S} \quad (\mathrm{N/m}^2) \]
例：风力、液体压力、两物体间的接触力
量纲分析：G.I. Taylor
《呼啸山庄》
\(\implies\) scaling law 尺度律
2-2 应力和一点的应力状态¶
劈开物体内部，内力成为了另一部分施加的面力
\[ \begin{aligned} \mathbf{f}_n &= \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta S} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{F}}{\mathrm{d} S} \\ &= f_{n1} \mathbf{e}_1 + f_{n2} \mathbf{e}_2 + f_{n3} \mathbf{e}_3 \\ &= \sigma_n \mathbf{n} + \tau_n \boldsymbol{\tau} \end{aligned} \]
切开得到的面元方向不同，应力也会不同。可见应力数值不仅依赖于空间点，而且依赖于微元面积的方向！
冯元桢指出：
\[ \mathbf{f}_n = \lim_{\Delta S \to \Delta S_{\lim}} \frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta S} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{F}}{\mathrm{d} S} \]更贴近物理真实
如何衡量一点的应力状态？
应力张量
\[ (\sigma_{ij}) = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} \]
为什么这个东西能表示应力状态？Cauchy 在两百年前给出了证明。
2-3 斜面上的应力¶
在 \(O\) 点处截取一个微元体 \(Oabc\)
\(x\) 方向力的平衡：
\[ f_{nx} \Delta S_{abc} - \sigma_x \Delta S_{Obc} - \tau_{yx} \Delta S_{Oac} - \tau_{zx} \Delta S_{Oab} + \cancel{F_x \Delta V} = 0 \]
\(\Delta V \to 0, \, \Delta V \sim o(\Delta S)\)，故可忽略体力项。取极限得
\[ f_{nx} = \sigma_x l + \tau_{yx} m + \tau_{zx} n \]
加上 \(y, z\) 方向的力平衡，得到 Cauchy's stress theorem（斜面应力公式）：
\[ \begin{equation} \label{eq:cauchy_stress_theorem} \begin{aligned} f_{nx} &= \sigma_x l + \tau_{yx} m + \tau_{zx} n \\ f_{ny} &= \tau_{xy} l + \sigma_y m + \tau_{zy} n \\ f_{nz} &= \tau_{xz} l + \tau_{yz} m + \sigma_z n \end{aligned} \end{equation} \]
静力可能应力：满足平衡条件的应力状态