应力应变关系

变形体力学的基本关系

• 平衡关系：平衡方程、力的边界条件
• 连续关系（几何关系）：位移-应变关系
• 物理关系（本构关系）：应力-应变关系

本构关系流程：

flowchart LR
    A[热力学定律] --> B[基本框架]
    B --> C[模型选择]
    C --> D[参数测定]
    D --> E[实用本构关系]

4-1 应力应变一般关系

\[ \begin{aligned} \sigma_{x} &= f_1(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}) \\ \sigma_{y} &= f_2(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}) \\ \sigma_{z} &= f_3(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}) \\ \tau_{yz} &= f_4(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}) \\ \tau_{zx} &= f_5(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}) \\ \tau_{xy} &= f_6(\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}) \end{aligned} \]

• Cauchy 材料
• \(f_i\) 为具体的函数或泛函，取决于材料的物理特性

小变形情形

\[ \sigma_x = \left( f_1 \right)_0 + \left( \frac{\partial f_1}{\partial \varepsilon_x} \right)_0 \varepsilon_x + \left( \frac{\partial f_1}{\partial \varepsilon_y} \right)_0 \varepsilon_y + \left( \frac{\partial f_1}{\partial \varepsilon_z} \right)_0 \varepsilon_z + \left( \frac{\partial f_1}{\partial \gamma_{yz}} \right)_0 \gamma_{yz} + \left( \frac{\partial f_1}{\partial \gamma_{zx}} \right)_0 \gamma_{zx} + \left( \frac{\partial f_1}{\partial \gamma_{xy}} \right)_0 \gamma_{xy} + \omicron(\varepsilon, \gamma) \]

• \((\cdot)_0\) 表示应力为 0 处
• 无初始应力假设：\((f_1)_0 = 0\)

\[ \begin{aligned} \sigma_x &= C_{11} \varepsilon_x + C_{12} \varepsilon_y + C_{13} \varepsilon_z + C_{14} \gamma_{yz} + C_{15} \gamma_{zx} + C_{16} \gamma_{xy} \\ \sigma_y &= C_{21} \varepsilon_x + C_{22} \varepsilon_y + C_{23} \varepsilon_z + C_{24} \gamma_{yz} + C_{25} \gamma_{zx} + C_{26} \gamma_{xy} \\ \sigma_z &= C_{31} \varepsilon_x + C_{32} \varepsilon_y + C_{33} \varepsilon_z + C_{34} \gamma_{yz} + C_{35} \gamma_{zx} + C_{36} \gamma_{xy} \\ \tau_{yz} &= C_{41} \varepsilon_x + C_{42} \varepsilon_y + C_{43} \varepsilon_z + C_{44} \gamma_{yz} + C_{45} \gamma_{zx} + C_{46} \gamma_{xy} \\ \tau_{zx} &= C_{51} \varepsilon_x + C_{52} \varepsilon_y + C_{53} \varepsilon_z + C_{54} \gamma_{yz} + C_{55} \gamma_{zx} + C_{56} \gamma_{xy} \\ \tau_{xy} &= C_{61} \varepsilon_x + C_{62} \varepsilon_y + C_{63} \varepsilon_z + C_{64} \gamma_{yz} + C_{65} \gamma_{zx} + C_{66} \gamma_{xy} \end{aligned} \]

• 广义胡克定律（Generalized Hooke's Law）

4-2 热力学基本定律

基本概念

• 系统、周围环境、界面
• 状态变量：基本状态变量（应变或应力、温度）、状态函数（体积变化）
• 过程：可逆、不可逆

热力学第一定律

内能 + 动能 = 外力功 + 热量（输入）

\[ \begin{equation} \label{eq:first_law_thermodynamics} \Delta U + \Delta K = \Delta A + \Delta Q \end{equation} \]

写成率形式，

\[ \begin{equation} \label{eq:first_law_thermodynamics_rate} \dot{U} + \dot{K} = \dot{A} + \dot{Q} \end{equation} \]

应用于连续介质：

• 内能

\[ U = \int_V u \, \mathrm{d}V \]

• 动能

\[ K = \frac{1}{2} \int_V \rho v_i v_i \, \mathrm{d}V \]

• 外力功率（体力和面力）

\[ \dot{A} = \int_V F_i v_i \, \mathrm{d}V + \int_S T_i v_i \, \mathrm{d}S \]

• 热量变化率

\[ \dot{Q} = \int_V r \, \mathrm{d}V - \int_S h_i n_i \, \mathrm{d}S \]

其中，\(r\) 为热源强度（单位时间内单位体积产生的热量），\(h_i\) 为热流速率矢量（单位时间内沿温度梯度方向流经单位面积的热量）。

代入式 \eqref{eq:first_law_thermodynamics_rate} 得

\[ \int_V \dot{u} \, \mathrm{d}V + \int_V \rho v_i \dot{v}_i \, \mathrm{d}V = \int_V F_i v_i \, \mathrm{d}V + \int_S T_i v_i \, \mathrm{d}S + \int_V r \, \mathrm{d}V - \int_S h_i n_i \, \mathrm{d}S \]

在解决弹性力学问题时，不会直接用到热力学第一定律，只在推导本构关系的时候会用到。

而流体力学的激波问题中会用到热力学第一定律。

基本状态变量：应变 \(\varepsilon_{ij}\)、温度 \(T\)

功共轭变量：应力 \(\sigma_{ij}\) 与应变 \(\varepsilon_{ij}\) 共轭，熵 \(\eta\) 与温度 \(T\) 共轭

对基本状态变量求导，得到其功共轭变量

勒让德变换：对物理系统减去一对功共轭变量的乘积

4-4 各向同性弹性体

• 本构方程

\[ \begin{equation} \label{eq:isotropic_constitutive} \left \{ \begin{aligned} \sigma_x &= C_{12} \theta + (C_{11} - C_{12}) \varepsilon_x, \, \tau_{yz} = \frac{1}{2} (C_{11} - C_{12}) \gamma_{yz} \\ \sigma_y &= C_{12} \theta + (C_{11} - C_{12}) \varepsilon_y, \, \tau_{xz} = \frac{1}{2} (C_{11} - C_{12}) \gamma_{xz} \\ \sigma_z &= C_{12} \theta + (C_{11} - C_{12}) \varepsilon_z, \, \tau_{xy} = \frac{1}{2} (C_{11} - C_{12}) \gamma_{xy} \end{aligned} \right. \end{equation} \]

Lamé's constants: \(C_{12} = \lambda, C_{11} - C_{12} = 2\mu\)

式 \eqref{eq:isotropic_constitutive} 化为

\[ \begin{equation} \sigma_{ij} = \lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} + 2 \mu \varepsilon_{ij} \end{equation} \]

由 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\) 可得

\[ C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + 2 \mu \delta_{ik} \delta_{jl} \]

• 用应力表示应变

\[ \begin{equation} \label{eq:isotropic_constitutive_inverse} \left \{ \begin{aligned} \sigma_x &= \frac{\sigma_x}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda + 2\mu)} \Theta, \, \gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{\mu} \\ \sigma_y &= \frac{\sigma_y}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda + 2\mu)} \Theta, \, \gamma_{xz} = \frac{\tau_{xz}}{\mu} \\ \sigma_z &= \frac{\sigma_z}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda + 2\mu)} \Theta, \, \gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{\mu} \end{aligned} \right. \end{equation} \]

其中 \(\Theta = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z\). 三式相加得 \(\Theta = (3\lambda + 2\mu) \theta \equiv 3 K \theta\)，定义体积模量（Bulk modulus）为

\[ K = \frac{3\lambda + 2\mu}{3} \]