弹性力学问题的建立和一般原理¶

本章内容

弹性力学的基本方程及问题分类（按边界条件）
弹性力学的解法
- 位移解法
- 应力解法
- 混合解法
重要原理
简单问题求解示例

5-1 基本方程及边值问题¶

基本方程（15 个）¶

平衡（运动）微分方程 （3 个） $$ \sigma_{ij,j} + F_i = 0 \quad (\rho \ddot{u}_i) $$
几何方程 （6 个） $$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i}) $$
物理方程 （6 个） $$ \begin{aligned} \sigma_{ij} &= \lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} + 2 G \varepsilon_{ij} \ \varepsilon_{ij} &= \frac{1}{E}[(1 + \nu) \sigma_{ij} - \nu \sigma_{kk} \delta_{ij}] \end{aligned} $$

边界条件¶

全部边界上已知面力（Neumann） $$ \sigma_{ij} n_j = \bar{f}_i \quad (\text{on } S) $$
全部边界上已知位移（Dirichlet） $$ u_i = \bar{u}_i \quad (\text{on } S) $$
部分边界上已知面力，部分边界上已知位移（Robin） $$ \begin{aligned} \sigma_{ij} n_j &= \bar{f}i \quad (\text{on } S) \ u_i &= \bar{u}_i \quad (\text{on } S_u) \end{aligned} $$

初始条件（弹性动力学问题）¶

\[ \begin{aligned} u_i(\mathbf{x}, 0) &= u_{i0} \quad (\mathbf{x} \in V) \\ \dot{u}_i(\mathbf{x}, 0) &= v_{i0} \quad (\mathbf{x} \in V) \end{aligned} \]

应变协调方程¶

张量形式：

\[ e_{ikm} e_{jln} \varepsilon_{ij,kl} = 0 \]

5-2 位移解法¶

用位移表达应力

5-C 补充：混合解法¶

graph LR
    A[基本状态变量] --> C[系统]
    B[状态函数] --> C

典型场景：层合板（laminated plate）

选取一组混合状态变量（3 个位移 + 3 个应力）
- 以 $u_x, u_y, u_z; \, \sigma_z, \tau_{xz}, \tau_{yz}$ 为例

状态方程的推导¶

\[ \begin{align} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x &= \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \label{eq:equilibrium-1}\\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + F_y &= \rho \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} \label{eq:equilibrium-2}\\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z &= \rho \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} \label{eq:equilibrium-3} \end{align} \]

唯一性定理