平面问题¶
6-1 平面应变问题¶
6-9 矩形梁弯曲的三角级数解法¶
将应力函数分离变量：\(U = X(x)Y(y)\)，代入双调和方程得到
\[ X^{(4)} Y + 2 X'' Y'' + X Y^{(4)} = 0 \]
两边同除以 \(X Y\)，
\[ \frac{X^{(4)}}{X} + 2 \frac{X''}{X} \frac{Y''}{Y} + \frac{Y^{(4)}}{Y} = 0 \]
上式对 \(y\) 求一阶偏导数1，得
\[ 2 \frac{X''}{X} \left( \frac{Y''}{Y} \right)' + \left( \frac{Y^{(4)}}{Y} \right)' = 0 \]
上式成立的条件是
\[ \frac{X''}{X} = - \frac{(Y^{(4)}/Y)'}{2 (Y''/Y)'} = -\lambda^2 \]
采用的常数为 \(-\lambda^2\)，是因为研究的问题是简支梁
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到这一步之前，\(x, y\) 的地位都是一样的。也可以对 \(x\) 求偏导数，得到的结果和后面得到的方程中 \(X, Y\) 对调。 ↩