绪论¶
基本假设¶
-
连续性假设（最基本、最重要）
- 连续介质模型（Continuum model）
- 能用于宏观，也能用于纳米尺度（碳纳米管）
连续性假设的要点：宏观无限小，微观足够大
宏观上看是一个点，但在微观上包含足够多的分子/原子
方法：均匀化 Homogenization
-
均匀性假设
- 各向同性假设
- 很多材料并不各向同性，甚至金属也不完全是（例如锌）
-
完全弹性假设
- 线性
- 非线性
- 伪弹性（pseudoelasticity）
- 能量耗散
-
小变形假设
- aka. 几何线性假设
- 此外还有材料线性（即本构关系）
- 无初始应力假设
- 拉索桥，必须考虑预应力
张量基础¶
- 简化书写
- 简化推导
History
- William Rowan Hamilton (1805-1865)
- 四元数 Quaternions
- Woldemar Voigt (1850-1919)
- Piezoelectric effect
- 描述物态
- Arthur Caylay (1821-1895)
- 协变量与逆变量
- Caylay-Hamilton theorem
- Bernhard Riemann (1826-1866)
- 曲率张量
- Christoffel 符号
- Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925)
- 协变系统
- Albert Einstein (1879-1955)
- 广义相对论
- 张量分析的现代热潮
删繁就简三秋树 领异标新二月花
指标符号与求和约定¶
\(A, B, C, \ldots \longrightarrow a_i \, (i = 1, 2, \ldots, n)\)
哑指标与自由指标（见 连续介质力学笔记）
- 求导的简写
\[ \frac{\partial F}{\partial x_i} = F_{,i} \]
置换符号¶
用 Kronecker delta 定义¶
\[ \varepsilon_{ijk} = \begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\[1ex] \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\[1ex] \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \\ \end{vmatrix} \]
其它¶
\[ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{kmn} = \delta_{im} \delta_{jn} - \delta_{in} \delta_{jm} \]
口诀：前前后后 - 里里外外
矢量的运算¶
\[ \mathbf{A} = A_i \mathbf{e}_i, \quad \mathbf{B} = B_i \mathbf{e}_i, \quad \mathbf{D} = D_i \mathbf{e}_i \]
点乘¶
\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (A_i \mathbf{e}_i) \cdot (B_j \mathbf{e}_j) = A_i B_j (\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j) = A_i B_j \delta_{ij} = A_i B_i \]
叉乘¶
\[ \mathbf{D} = \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (A_i \mathbf{e}_i) \times (B_j \mathbf{e}_j) = A_i B_j (\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j) = A_i B_j \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_k \]
记
\[ D_k := \varepsilon_{ijk} A_i B_j = \begin{vmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\[1ex] B_1 & B_2 & B_3 \\[1ex] \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix} \]
坐标变换¶
两个坐标系 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}\) 和 \(\{\mathbf{e}_{1'}, \mathbf{e}_{2'}, \mathbf{e}_{3'}\}\)
对于同一个矢量，
\[ x_i \mathbf{e}_i = x_{i'} \mathbf{e}_{i'} \]
如何用原坐标系 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}\) 下的分量 \(x_i\) 表示新坐标系 \(\{\mathbf{e}_{1'}, \mathbf{e}_{2'}, \mathbf{e}_{3'}\}\) 下的分量 \(x_{i'}\)？
同时点乘 \(\mathbf{e}_{k'}\)
笛卡尔张量的定义¶
定义一¶
满足坐标变换关系
\[ T_{p'q'} = a_{p'i} a_{q'j} T_{ij}; \quad T_{ij} = a_{ip'} a_{jq'} T_{p'q'} \]
定义二¶
二阶张量¶
矩阵表示¶
\[ [T_{ij}] = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\[1ex] T_{21} & T_{22} & T_{23} \\[1ex] T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{bmatrix} \]
对称与反对称¶
\[ \begin{aligned} T_{ij} &= T_{ji}, \quad [T_{ij}] = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\[1ex] T_{12} & T_{22} & T_{23} \\[1ex] T_{13} & T_{23} & T_{33} \end{bmatrix} \\ T_{ij} &= -T_{ji}, \quad [T_{ij}] = \begin{bmatrix} 0 & T_{12} & T_{13} \\[1ex] -T_{12} & 0 & T_{23} \\[1ex] -T_{13} & -T_{23} & 0 \end{bmatrix} \\ \end{aligned} \]
反对称张量的反偶矢量
\[ T_k = -\frac{1}{2} \varepsilon_{ijk} T_{ij} \]
分解¶
- 分解为对称与反对称部分
\[ T_{ij} = \frac{1}{2} (T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2} (T_{ij} - T_{ji}) = S_{ij} + A_{ij} \]
- 分解为球张量和偏张量
\[ T_{ij} = B_{ij} + D_{ij}, \quad B_{ij} = \frac{1}{3} T_{kk} \delta_{ij} \]
主方向、主值¶
\[ T_{ij} A_j = \lambda A_i \]
不变量¶
\[ \begin{aligned} I_1 &= T_{ii} = T_{11} + T_{22} + T_{33} = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 \\ I_2 &= \frac{1}{2} (T_{ii} T_{jj} - T_{ij} T_{ji}) = \begin{vmatrix} T_{22} & T_{23} \\[1ex] T_{32} & T_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} T_{11} & T_{13} \\[1ex] T_{31} & T_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} T_{11} & T_{12} \\[1ex] T_{21} & T_{22} \end{vmatrix} = \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2 \lambda_3 + \lambda_3 \lambda_1 \\ \end{aligned} \]