阻尼振动

振动系统的元素：

• 回复力（弹性元件）
• 阻尼力（阻尼元件）
• 外力

最简单的例子

记 \(x\) 为质量块距离平衡位置的位移，由牛顿第二定律可得

\[ m \ddot{x} = -k x - c \dot{x} + F(t) \]

激励

外力激励 \(F(t)\)

1. \(F(t) = 0\)：自由振动
2. \(F(t) = F_0 \sin(\omega_0 t + \varphi_0)\)：谐和激励
   • e.g. 偏心力（叶片的不对称缺陷等导致）
   • 在频域：
   • \(F(t) \to F(\omega)\)：幅频
   • \(\varphi \to \varphi(\omega)\)：相频
   • 有限个谐波激励
   • \(F(t) = F_0 + \sum_{n=1}^{N} A_n \sin(\omega_n t + \varphi_n)\)
3. \(F(t + T) = F(t)\)：周期激励 $$ F(t) = F_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n \sin(\frac{2\pi n}{T} t + \varphi_n) $$
4. 任意激励
   • 转换为频域，是连续谱

5. 随机激励

   • 不满足绝对可积：
   \[\int_0^{+\infty} |F(t)| \mathrm{d}t \nless +\infty\]

   不能做傅里叶分析！

   • 引入相关函数 \(R(\tau) = \mathbb{E}[F(t)F(t+\tau)]\)
   • 集合平均（ensemble average）

   相关函数是绝对可积的：\(\int_0^{+\infty} |R(\tau)| \mathrm{d}\tau < +\infty\)

参数激励

参数随着时间变化

1. 刚度参激 \(k = k_0 + F_1(t)\)
2. 阻尼参激 \(c = c_0 + F_2(t)\)
3. 质量参激 \(m = m_0 + F_3(t)\)

参数的简介

刚度 \(k\)

• 线性：\(F = k x\)
• 硬弹簧：\(F(x) = k_1 x + k_2 x^3 (k_2 > 0)\)
  • 切线斜率随位移增大而增大
• 软弹簧：\(F(x) = k_1 x + k_2 x^3 (k_2 < 0)\)
  • 切线斜率随位移增大而减小

Duffing 振子

\[ m \ddot{x} + c \dot{x} + k_1 x + k_2 x^3 = F(t) \]

非线性振子

出于简单起见，只考虑 \(F(x)\) 为奇函数的情况

阻尼 \(c\)

标准化方程：

\[ \ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = f(t) \]

• \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)：系统的固有频率
• \(\zeta = \frac{c}{2 m \omega_0}\)：阻尼系数，一般比较小

非线性阻尼

Van der Pol 振子

\[ m \ddot{x} + (c_0 + c_1 \dot{x}^2 + c_2 x^2) \dot{x} + k x = F(t) \]