多自由度线性系统
一般方程
\[ \left \{ \begin{aligned} & \mathbf{M} \ddot{\boldsymbol{x}} + \mathbf{C} \dot{\boldsymbol{x}} + \mathbf{K} \boldsymbol{x} = \mathbf{F}(t) \\ & \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{\varphi}_0, \quad \dot{\boldsymbol{x}}(0) = \boldsymbol{\psi}_0 \end{aligned} \right. \]
考虑保守系统：\(\mathbf{M} \ddot{\boldsymbol{x}} + \mathbf{K} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)，质量矩阵和刚度矩阵均为 \(n\) 阶对称矩阵。
设 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi} \sin (\omega t + \theta)\)，代入得
\[ \begin{equation} \tag{1} \label{eq:osc-eigen-general} (-\omega^2 \mathbf{M} + \mathbf{K}) \boldsymbol{\varphi} = \boldsymbol{0} \end{equation} \]
这是广义本征方程。记 \(\lambda = \omega^2\). 要求非平凡解，需满足
\[ \det(-\lambda \mathbf{M} + \mathbf{K}) = 0 \]
由于一般情况下，\(\mathbf{M}\) 为对称正定矩阵，\(\mathbf{K}\) 为对称半正定矩阵，上式有 \(n\) 个实非负根 \(\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n\)，对应 \(n\) 个特征频率 \(\omega_i = \sqrt{\lambda_i}\) 和 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\boldsymbol{\varphi}_i\). 固有频率 \(\omega_i\) 对应的本征向量 \(\boldsymbol{\varphi}_i\) 称作第 \(i\) 阶固有振型，也称模态向量. 两者合在一起称为固有模态. 把 \(\omega_i, \boldsymbol{\varphi}_i\) 代入所设的解：
\[ \boldsymbol{x}_i(t) = \boldsymbol{\varphi}_i \sin (\omega_i t + \theta_i) \]
此为系统的第 \(i\) 阶模态振动. 系统的任意振动均可表示为各阶模态振动的线性叠加：
\[ \boldsymbol{x}(t) = \sum_{i=1}^n a_i \boldsymbol{\varphi}_i \sin (\omega_i t + \theta_i) = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{\varphi}_i (A_i \sin \omega_i t + B_i \cos \omega_i t) \]
\(a_i, \theta_i, A_i, B_i\) 由初始条件确定。
固有振型正交性
将固有模态 \((\omega_i, \boldsymbol{\varphi}_i)\) 代入广义本征式 \eqref{eq:osc-eigen-general}，得
\[ \mathbf{K} \boldsymbol{\varphi}_i = \omega_i^2 \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_i \]
等号两边同乘 \(\boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm{T}}\)，得
\[ \begin{equation} \tag{2} \label{eq:mode-orthogonal-proof-1} \boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \boldsymbol{\varphi}_i = \omega_i^2 \boldsymbol{\varphi}_j^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_i \end{equation} \]
同样地，将 \((\omega_j, \boldsymbol{\varphi}_j)\) 代入式 \eqref{eq:osc-eigen-general}，并同乘 \(\boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}}\)，得
\[ \begin{equation} \tag{3} \label{eq:mode-orthogonal-proof-2} \boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \boldsymbol{\varphi}_j = \omega_j^2 \boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_j \end{equation} \]
对式 \eqref{eq:mode-orthogonal-proof-1} 取转置，利用 \(\mathbf{K}, \mathbf{M}\) 的对称性，有
\[ \begin{equation} \tag{4} \label{eq:mode-orthogonal-proof-3} \boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \boldsymbol{\varphi}_j = \omega_i^2 \boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_j \end{equation} \]
\eqref{eq:mode-orthogonal-proof-3} \(-\) \eqref{eq:mode-orthogonal-proof-2} 得
\[ \begin{equation} \tag{5} \label{eq:mode-orthogonal-proof-4} (\omega_i^2 - \omega_j^2) \boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_j = 0 \end{equation} \]
当 \(i \neq j\) 时（系统没有重频），得到
\[ \begin{equation} \tag{6} \label{eq:mode-orthogonality} \boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_j = 0 \end{equation} \]
归一化方式
\(\boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} = [\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \ldots, \alpha_{in}]\) 1. \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \alpha_{ik}^2 = 1\) 2. \(\max{|\alpha_{ik}|^2} = 1\) 3. \(\boldsymbol{\varphi}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\varphi}_i = \bar{M}_i = 1 \implies \bar{K}_i = \omega_i^2\)
零频
若系统有特征值为 0，则重根数量对应独立刚性体运动方式数目。此时，\(\mathbf{K}\) 为半正定矩阵。
实际工程中的模态分析
实际计算中，通常只需计算前 \(m\) 阶模态（\(m < n\)），因为高阶模态对系统响应影响较小。
- 精密仪器（如卫星、望远镜等）：\(m < 10\)
- 框架结构（楼、桥梁等）：\(m < 100\)
- 机器人，火箭： \(m < 10^3\)
不会超过 \(1000\).
分析方法：
- 低频：有限元法（Finite Element Method, FEM）
- 高频：统计能量分析法（Statistical Energy Analysis, SEA）
- 中频：还没有特别好的方法
无阻尼系统的受迫振动
振型叠加方法
无阻尼 \(n\) 自由度系统在外力 \(\boldsymbol{f}(t)\) 作用下的振动微分方程为
\[ \begin{equation} \tag{7} \label{eq:mdof-forced} \boldsymbol{M} \ddot{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}(t) \end{equation} \]
机械阻抗方法
设简谐激振力为
\[\boldsymbol{f} = \boldsymbol{F} e^{\mathrm{i} \omega t}\]
其中 \(\boldsymbol{F} = [F_1, F_2, \ldots, F_n]^{\mathrm{T}}\) 为简谐激振力的复幅值矢量。系统的稳态振动为与外加激励同频率的简谐振动，设振动解为
\[ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{X} e^{\mathrm{i} \omega t} \]
其中 \(\boldsymbol{X} = [X_1, X_2, \ldots, X_n]^{\mathrm{T}}\) 为简谐位移响应的复振幅矢量。