线性振动系统的最优控制

可控性

对于线性定常连续系统

\[ \dot{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} + \boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t) \]

可控性的充要条件是

\[ \mathrm{rank} \begin{bmatrix} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{B} & \cdots & \boldsymbol{A}^{2n-1} \boldsymbol{B} \end{bmatrix} = 2n \]

Cayley-Hamilton 定理

\[ \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t} = \sum_{i=0}^{2n-1} a_i(t) \boldsymbol{A}^i \]

可观性

状态变量无法直接得到，能否通过系统输出推断出系统状态变量？

\[ \begin{aligned} \dot{\boldsymbol{y}} &= \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} + \boldsymbol{B} \boldsymbol{u}(t) \\ \boldsymbol{z} &= \boldsymbol{E} \boldsymbol{y} \end{aligned} \]

给定以上线性定常系统，若对任意规定的输入 \(\boldsymbol{u}(t)\)，总存在有限时间 \(t_1 > t_0\)，是的系统根据区间 \(t_0 \leq t \leq t_1\) 上的输入 \(\boldsymbol{u}(t)\) 和观测 \(\boldsymbol{z}(t)\)，就能唯一地确定出系统在时刻 \(t_0\) 的每一状态 \(\boldsymbol{y}(t_0)\)，那么就称该系统在 \(t_0\) 是可观的。若系统在讨论了时间区间上的每一时刻都是可观的，则称该系统是完全可观的。

完全可观的充要条件

\[ \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} \boldsymbol{A} \\ \vdots \\ \boldsymbol{E} \boldsymbol{A}^{2n-1} \end{bmatrix}, \quad \mathrm{rank} (\boldsymbol{P}) = 2n \]

反馈控制不是最优控制，最常用的是 PID 控制

\[\boldsymbol{u} = \boldsymbol{A} y + \boldsymbol{B} \dot{\boldsymbol{y}} + \boldsymbol{C} \int_0^{t_0} \boldsymbol{y} \, \mathrm{d}t\]