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Intro

Grading

  • 出勤 10%
  • 作业 30%
  • 期末 60%

流体：能够流动的介质（物质）

爆炸冲击波：可压缩

鼓虾：极快的空穴（cavitation），局部温度极高

水管的安装有讲究（钝角）

流体力学发展历史

学科定位和研究方法

  1. 流体力学与数学密不可分，相互推动

    • 流体力学的基本方程是非线性二阶 PDE，求解需要坚实的数学基础
    • 微积分、数理方程、特殊函数、积分变换、统计理论、离散数学、摄动法

    千禧年问题：Navier-Stokes 方程的光滑解

    • 连续性方程
    \[ \frac{1}{\rho} \frac{D \rho}{D t} + \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 \]
    • 动量方程
    \[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{g} \]

  2. 流体力学与物理 “混沌”和“孤立波”等非线性物理在二十世纪最重大的进展均源于流体力学问题的研究

    • 朗道

  3. 流体力学是现代工程技术的重要基础

    • 上天——航空航天工程、气候天气
    • 入地——能源、环境、交通、建筑工程
    • 下海——海洋海岸工程、舰船航海工程

研究方法

flowchart LR
    A[理论分析] --> B[现象观察]
    B --> C[实验模拟]
    C --> A

实验研究

  • 古老、有效

  • 👍

    • 能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现象和新原理，它的结果可以作为检验其他方法是否正确的依据
  • 👎
    • 对不同情况，需作不同实验，即所得结果的普适性较差
    • 有些实验的费用较高

理论分析

  • 👍
    • 普适性较好

流体不能抵抗剪应力！

  • 连续性假设
\[ \rho = \lim_{\delta V \to 0} \frac{\delta m}{\delta V} \]
  • 运动描述
\[ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \]
  • 层流流动剪应力
\[ \tau = \mu \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} \]
  • 牛顿流体
  • 非牛顿流体
    • 需要精确描述非牛顿流体的地方比较少
    • 本构关系还不清楚，都是经验公式

粘性的物理来源

  • 动量交换

  • 气体分子热运动，互相碰撞，产生动量交换 \(\to\) 分子平均自由程明确

  • 液体分子排列致密，是多体作用 \(\to\) 理论不完备，需要实验测量

粘度与温度的关系

  • 气体
\[ \frac{\mu}{\mu_0} \approx \begin{cases} \left(\frac{T}{T_0}\right)^n & \text{power law} \\ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2} \frac{T_0 + S}{T + S} & \text{Sutherland's formula} \end{cases} \]
  • 液体

无滑移边界条件（no-slip）

  • 连续、有粘性
\[ \mathbf{V}_{\text{fluid}} = \mathbf{V}_{\text{wall}} \]
  • 连续、无粘性
\[ V_{\text{normal}}(\text{fluid}) \equiv V_{\text{normal}}(\text{solid}) \]
  • 稀薄气体
\[ u_{\text{fluid}} - u_{\text{wall}} \approx \ell \left. \frac{\partial u}{\partial n} \right|_{\text{wall}} \]

其中 \(\ell\) 为气体平均自由程（mean free path），气体大约 100 nm，液体没有准确定义

  • 努森数（Knudsen number）
\[ \text{Kn} = \frac{\ell}{L} \]

应力矢量

Euler-Cauchy 应力原理

在流体内部任何一个想象的封闭曲面上，都存在一个应力矢量场

\[ \Sigma = \Sigma(\mathbf{x}, t, \mathbf{n}) \]

曲面外物质对曲面内流体的作用，等价于该矢量场对曲面内流体的作用。

\(\sigma_{ij}\)

  • \(i\)：与剪应力作用平面垂直的轴的方向
  • \(j\)：剪应力作用的方向

等值线

  • 全微分（total differential）
\[ \mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y \]
  • 沿轨迹 \(S\) 方向的全导数（total derivative）
\[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} := \frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \alpha \]

在等值线上，\(P\) 沿轨迹 \(S\) 方向不变，即

\[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s} = 0 \implies \tan \alpha = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y} \]

若要使 \(P\) 变化最快，则有

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha} \left( \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}s} \right) = 0 \implies \]