流体静力学¶
- 静止状态：流体相对于惯性系没有运动，平衡状态
-
相对静止：流体相对于非惯性系没有运动，相对平衡状态
-
速度场为零
- 无剪应力
静压强¶
考虑 \(xOz\) 平面内一个三角形流体微元（Element of fluid），沿 \(y\) 方向厚度为 \(b\)，受力分析：
\[ \begin{aligned} \sum F_x &= 0 = p_x b \Delta z - p_n b \Delta s \sin \theta \\ \sum F_z &= 0 = p_z b \Delta x - p_n b \Delta s \cos \theta - \rho g \frac{1}{2} b \Delta x \Delta z \end{aligned} \]
代入 \(\Delta s \sin \theta = \Delta z, \, \Delta s \cos \theta = \Delta x\)，得
\[ \begin{aligned} p_x &= p_n \\ p_z &= p_n + \frac{1}{2} \rho g \Delta z \end{aligned} \]
流体微元收缩到一个点，\(\Delta z \to 0\)，得
\[ p_x = p_z = p_n \]
受力分析¶
\[ \mathrm{d} F_x = p \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z - \left( p + \frac{\partial p}{\partial x} \mathrm{d} x \right) \mathrm{d} y \,\mathrm{d} z = -\frac{\partial p}{\partial x} \mathrm{d} x \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z \]
力的矢量可以写成
\[ \mathrm{d} \mathbf{F}_{\text{press}} = \left( -\mathbf{i} \frac{\partial p}{\partial x} - \mathbf{j} \frac{\partial p}{\partial y} - \mathbf{k} \frac{\partial p}{\partial z} \right) \mathrm{d} x \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z = -\nabla p \,\mathrm{d} V \]
单位体积上的力
\[ \mathbf{f}_{\text{press}} = - \nabla p \]
重力作用
\[ \mathrm{d} \mathbf{F}_{\text{grav}} = \rho \mathbf{g} \,\mathrm{d} x \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z \implies \mathbf{f}_{\text{grav}} = \rho \mathbf{g} \]
单位体积流体的合力
\[ \sum \mathbf{f} = \mathbf{f}_{\text{press}} + \mathbf{f}_{\text{grav}} + \mathbf{f}_{\text{visc}} = \rho \mathbf{a} \]
若不考虑粘性力和加速度项，有
\[ -\nabla p + \rho \mathbf{g} = \mathbf{0} \]
只剩 \(z\) 分量：
\[ \frac{\partial p}{\partial z} = \rho g \implies p = \rho g h \]
绝对压强、相对压强、真空压强¶
Gage pressure
静水压（Hydrostatic pressure）¶
静止状态下，
流体静力学控制方程¶
欧拉平衡方程
\[ f_i - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} = 0 \]
静止流体中压强的空间变化，由体积力的存在引起。
有加速度情况下的静压强¶
\[ \nabla p = \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a}) \]
匀加速直线运动¶
\[ \frac{\partial p}{\partial x} = -\rho a, \quad \frac{\partial p}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial p}{\partial z} = \rho g \]
匀速旋转¶
\[ \frac{\partial p}{\partial r} = -\rho \omega^2 r, \quad \frac{\partial p}{\partial \theta} = 0, \quad \frac{\partial p}{\partial z} = \rho g \]