流体力学基本方程
控制体（control volume）¶
各种分析方法的特点：
- 控制体（large-scale）分析
- 对任何流动状态都是“准确”的，在边界上的平均或者“一维”物理量，适合工程应用
- Bernoulli, Prandtl
- 微分（small-scale）分析
- 适用于任何流动，但多数情况没有精确的解析解，需要用 CFD
- Euler, d'Alembert
- 实验/量纲分析
- 适用于理论、数值、实验，能降低实验费用
- Rayleigh, Buckingham
雷诺输运定理
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} B_{\text{sys}}}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\int_{\text{CV}} \beta \rho \, \mathrm{d} V\right) + \int_{\text{CS}} \beta \rho (\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d} A \\ &= \int_{\text{CV}} \frac{\partial}{\partial t} (\beta \rho) \, \mathrm{d} V + \int_{\text{CS}} \beta \rho (\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d} A \end{aligned} \]
- 广延量（extensive value）\(B\)：与系统大小有关的量，如质量、能量、动量
- 强度量（intensive value）\(\beta = \mathrm{d}B/\mathrm{d}m\)：与系统大小无关的量，如温度、密度、压强
质量守恒/连续性方程¶
体系的质量守恒：
\[ \frac{\mathrm{d} m_{\text{sys}}}{\mathrm{d} t} = 0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\int_{\text{CV}} \rho \, \mathrm{d} V\right) + \int_{\text{CS}} \rho (\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d} A \]
Bernoulli Equation¶
质量守恒
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\int_{\text{CV}} \rho \, \mathrm{d} V\right) + \dot{m}_{\text{out}} - \dot{m}_{\text{in}} = 0 \]
静压、动压、驻点压力¶
\[ p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 = p_0 = \text{const.} \]
- \(p_1\): 静压（static pressure）
- \(\frac{1}{2} \rho v_1^2\): 动压（dynamic pressure）
- \(p_0\): 驻点压力（stagnation pressure）
皮托管（Pitot tube）测量流体速度