边界层¶

不可压缩 N-S 方程中重力项的处理

层内的粘性流动与层外的理想流动耦合，是相互影响、紧密关联的
由于内层粘流的滞止作用，流线外移，所以理想流体的绕流应当是考虑了流线外移效应后“加厚”了的等效物体。其形状只有知道边界层的解才能获得。
而求解边界层必须得知道边界层外的理想流动情况
\(\implies\) 逐次修正法（可能不收敛）

边界层基本特征¶

定义边界层厚度 \(\delta\) 为该处速度达到自由流速度的 \(99\%\) 的位置，即 \(U(\delta) = 0.99 U_{\infty}\).（名义厚度 nominal thickness）

很薄，远小于流向特征尺度：\(\delta \ll L\)

Stokes 第一问题：涡旋的扩散厚度 \(\delta \sim \sqrt{\nu t}\)，而相同时间内流体质点的迁移距离为 \(L = Ut\)

\[ \begin{equation} \label{eq:BL-thickness-dim} \tag{7.1.1} \delta \sim \sqrt{\nu t} = \sqrt{\frac{\mu L}{\rho U}} = \frac{L}{\sqrt{\mathrm{Re}}} \iff \frac{\delta}{L} \sim \mathrm{Re}^{-1/2} \end{equation} \]

边界层内切向速度的法向梯度很大

若 \(x \sim L, \, y \sim \delta, \, u \sim U\)，可知 \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \ll \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\). 此外，如果考虑惯性力和粘性力的量级关系：

\[ \frac{u \dfrac{\partial u}{\partial x}}{\nu \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}} \sim \frac{U^2 / L}{\nu U / \delta^2} = 1 \, (!) \]

说明不论雷诺数多大，在边界层内始终要考虑粘性项！

位移厚度¶

由于边界层的存在，外层流线会向外偏移 \(\delta^*(x)\)：

\[ \begin{aligned} \int_0^h \rho U b \, \mathrm{d} y &= \int_0^{\delta} \rho u b \, \mathrm{d} y, \quad \delta = h + \delta^* \\ U h &= \int_0^{\delta} (u + U - U) \, \mathrm{d} y \\ \implies \delta^* &= \int_0^{\delta} \left(1 - \frac{u}{U} \right) \mathrm{d} y \end{aligned} \]

可以理解为

等效流道的减窄量

理想流体的流线在边界层外部边界上由于粘性作用向外偏移的距离。

再次利用速度近似分布（von Karman）（近似为抛物型）：

\[ u(x, y) \approx U \left( \frac{2y}{\delta} - \frac{y^2}{\delta^2} \right), \quad 0 \leq y \leq \delta(x) \]

最后求得

\[ \delta^* = \frac{\delta}{3} \]

动量厚度¶

相同质量流量下无粘流的动量通量

\[ \rho \int_0^h \]

动量积分¶

控制体动量方程

\[ \begin{aligned} \sum F_x &= \rho \int_1 u(0, y) (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d} A + \rho \int_3 u(L, y) (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d} A \\ &= \rho \int_0^h U_0 (-U_0) b \, \mathrm{d} y + \rho \int_0^{\delta} u(L, y) [u(L, y)] b \, \mathrm{d} y \\ &= -\rho b U_0^2 h + \rho b \int_0^{\delta} u^2(L, y) \, \mathrm{d} y \end{aligned} \]

控制体质量守恒，定常

\[ \rho \int_{\text{CS}} (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, \mathrm{d} A = 0 \implies \rho \int_0^h (-U_0) b \, \mathrm{d} y + \rho \int_0^{\delta} u(L, y) b \, \mathrm{d} y = 0 \]

二维层流边界层方程¶

不可压：\(\(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0\)\)

量级分析：\(x \sim L, \, y \sim \delta, \, t \sim L/U\)，代入上式可得

\[ \frac{U}{L} + \frac{V}{\delta} \sim 0 \implies V \sim \frac{\delta}{L} U \]

故 \(V/U \sim \delta / L \ll 1\).

动量方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \]

二维不可压缩层流边界层方程（Prandtl 边界层方程）¶

\[ \begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial U_{\infty}}{\partial t} + U_{\infty} \frac{\partial U_{\infty}}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \end{array} \end{equation} \]

边界层方程的性质

与二维 N-S 方程相比，方程数和未知量从 3 个减少到 2 个（\(u, \, v\)）
依旧是非线性方程
不可压缩 N-S 方程是椭圆型 PDE，需全局求解；而边界层方程是抛物型 PDE，可从边界层的前缘（leading edge）开始，向下游逐步求解。
无量纲化的二维定常无量纲方程组和边界条件
- 不包含 \(\mathrm{Re}\)
- \(\mathrm{Re}\) 变化时，边界层内的流动图案只发生相似性变化：\(x, u\) 不变，\(y, v\) 和 \(\sqrt{\mathrm{Re}}\) 成反比。
- 如果有分离点存在，分离点的位置在层流范围内与 \(\mathrm{Re}\) 无关。

边界层的相似性解¶

相似性假设：对 \(y\) 进行缩放，

\[ \frac{u\left(x_1, \frac{y}{g(x_1)}\right)}{U(x_1)} = \frac{u\left(x_2, \frac{y}{g(x_2)}\right)}{U(x_2)} \implies \frac{u(x, y)}{U(x)} = f'(\eta) \]

定常边界层方程：

\[ \left \{ \begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \\ & u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = U \frac{\partial U}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \end{aligned} \end{equation} \right. \]

二维流动存在流函数 \(u = \psi_y, \, v = -\psi_x\). 设

边界层的转捩（transition）¶

边界层分离¶

流动分离是非常重要且复杂的问题，边界层方程仅仅适用于分离之前

分离发生的必要条件¶

零压力梯度平板，有壁面粘滞作用，但没有逆压梯度
驻点流（流体垂直冲击壁面），有逆压梯度，没有壁面粘滞作用