管流¶
- 内流
- 外流
雷诺数的定义¶
\[ \mathrm{Re} = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu} \]
水力直径¶
特征长度 \(L\) 的选取有没有一个统一的标准？
水力直径（Hydraulic diameter）
\[ \begin{equation} D_h = \frac{4 A}{\mathscr{P}} \end{equation} \]
其中 \(\mathscr{P}\) 为湿周长，即所有“被浸湿”（受到流体的剪切作用）的边界长度之和。
迟滞现象¶
从层流转捩到湍流的雷诺数 \(\mathrm{Re}_{\mathrm{cr}2}\)，比从湍流转捩到层流的雷诺数 \(\mathrm{Re}_{\mathrm{cr}1}\) 要大得多。工程中使用下临界雷诺数 \(\mathrm{Re}_{\mathrm{cr}1}\).
- 圆管转捩的下临界雷诺数约为 \(2300\)
- 上临界雷诺数约为 \(> 10000\)，和管道粗糙度有关
圆管道中保持层流流动的流速是很慢的（\(\sim 0.04\) m/s），故一般都是湍流
管道流的发展¶
流体进入管道，经过一段距离后，上下管壁的边界层增长，最终合并，流动状态达到稳定
入口长度
\[ L_e = f(d, V, \rho, \mu) \implies \frac{L_e}{d} = g(\mathrm{Re}_d) \]
- 层流：\(L_e / d \approx 0.06 \, \mathrm{Re}_d\)
- 湍流：\(L_e / d \approx 1.6 \, \mathrm{Re}_d^{1/4}\)
头损失（Head Loss）¶
定常不可压缩单入口单出口的管道流动里，考虑修正的能量方程为
\[ \bigg(\frac{p}{\rho g} + \alpha \frac{V^2}{2g} + z \bigg)_1 = \bigg(\frac{p}{\rho g} + \alpha \frac{V^2}{2g} + z \bigg)_2 + h_f \]
- \(\alpha\)：摩擦因子
湍流管道流¶
假设局部平均速度处处满足对数律
\[ \frac{u(r)}{u^*} \approx \frac{1}{\kappa} \ln \frac{(R - r) u^*}{\nu} + B \]
平均速度
\[ V = \frac{Q}{A} = \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R u(r) \, 2 \pi r \, \mathrm{d} r \]
对于光滑内壁管道，
\[ \begin{equation} \frac{1}{f^{1/2}} = 2.0 \log \bigg( \mathrm{Re}_d f^{1/2} \bigg) - 0.8 \end{equation} \]
此即为
近似显式表达
表面粗糙度的影响
Nikuradse 实验结果¶
平均速度剖面
\[ u^+ = \frac{1}{\kappa} \ln y^+ + B - \Delta B = \frac{1}{\kappa} \ln y^+ + 8.5 \]
沿程损失
\[ \begin{equation} h_l = \frac{\Delta p}{\rho g} = f \frac{L}{d} \frac{V^2}{2g} \end{equation} \]
- \(f \textcolor{lightblue}{\,(\text{or } \lambda)}= \mathrm{fcn}(\mathrm{Re}, \varepsilon / d \, (\text{or } \Delta / d))\)
局部损失
\[ h_m = \zeta \frac{U^2}{2g} \]
\(\zeta\) 为局部损失系数，