误差¶
“备胎”天元 - HW 40% - Exam 60%
基本概念¶
graph LR
A[实际问题] --抽象--> B[数学模型]
B --数值计算--> C[近似解]模型误差¶
- 实际问题与数学模型之间的差异
饭量
前天：600g 昨天：700g 今天：800g 十天后？ 线性模型 ❌
观测误差¶
截断误差（truncation error）¶
- 受计算条件限制，无法计算精确的数学公式，只能使用简化方法
泰勒展开
\[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\]
- 级数有无限项，且建立在 \(\mathbb{R}\) 上
- 计算机：只有有限个浮点数！
取前几项：
若 \(|x| \approx 0\)，则 \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\).
误差：
\[|R(x)| = |\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}| \leq \frac{x^4}{4!}\]
舍入误差¶
- 实数 --> 二进制浮点数
\[\sum_{n=0}^{1000} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad \mathbf{vs.} \quad 1 - \frac{x^2}{2}\]
前者：1000次加法，\(\sum_{n=0}^{1000} 4n\) 次乘法
计算机画圆
到定点距离为定长的点的轨迹：无模型误差 黑白点阵：舍入误差
相对误差与绝对误差¶
记 \(x\) 为准确值，\(x^*\) 为近似值，称
\[e(x^*) = x - x^*\]
为 \(x^*\) 的绝对误差。
- 上界估计
\[|e(x^*)| = |x - x^*| \leq \varepsilon\]
称 \(\varepsilon\) 为绝对误差限。
\[P \{e(x^*) \leq \varepsilon\} = 1\]
相对误差：
\[e_{\mathrm{r}}(x^*) = \frac{e(x^*)}{x} = \frac{x - x^*}{x} \approx \frac{e(x^*)}{x^*}\]
当 \(|e_{\mathrm{r}}(x^*)| \to 0\) 时，
\[|\frac{e(x^*)}{x^*} - \frac{e(x^*)}{x}| = \frac{e(x^*) (x - x^*)}{x^* x} = o(e(x^*))\]
二进制“四舍五入”：\((0.1)_{2} = 0.5\)，所以是 \(.1\) 就进位.