Intro
连续介质力学：描述物质材料在不同荷载下的反应
- 框架上：普适定律，适用于所有介质
- 细节上：针对理想的材料提出本构方程
假设
- 数学上：假设物质无限可分，连续分布。于是可以使用极限，写出连续方程。
- 物理上：每个粒子由足够多的分子/原子组成。于是可以使用热统的概念，热力学变量可以取平衡态的平均值，而不用考虑涨落浮动。
张量初步
物理定律不应依赖于坐标系的选择
引入抽象的概念：张量
张量的具体组成部分，在不同坐标系下会变化，但张量本身不变
求和，哑指标
\[ s = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n \]
这样写很麻烦。
\[ s = \sum_{i=1}^n a_i x_i \]
把 \(i\) 换成别的字母也是表达同一个意思。这样写都太啰嗦了！
只要有重复 1 次（也就是出现 2 次）的指标，就省略掉求和符号。此即爱因斯坦求和约定（Einstein's summation convention）。
\[ s = a_i x_i = a_k x_k \]
一般三维情况下，\(i\) 取值为 \(1, 2, 3\).
注意
\(a_i b_i x_i\) 中 \(i\) 出现了 3 次，不能省略求和符号！必须显式地写出来：
\[ s = \sum_{i=1}^n a_i b_i x_i \]
\(a_{ii}\) 符合求和约定：
\[ a_{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} \]
嵌套求和
\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_{ij} x_i x_j = a_{ij} x_i x_j \]
\(i,j\) 都只重复了一次，符合求和约定。
\[ \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 a_{ijk} x_i x_j x_k = a_{ijk} x_i x_j x_k \]
同理，\(i,j,k\) 都是哑指标，上式表示了 27 项！
自由指标
有线性方程组：
\[ \left \{ \begin{aligned} x_1' &= a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 \\ x_2' &= a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 \\ x_3' &= a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 \end{aligned} \right. \]
把 \(m\) 作为哑指标：
\[ \left \{ \begin{aligned} x_1' &= a_{1m} x_m \\ x_2' &= a_{2m} x_m \\ x_3' &= a_{3m} x_m \end{aligned} \right. \]
进一步简化：
\[ x_i' = a_{im} x_m, \quad i = 1, 2, 3 \]
\(m\) 出现在同一乘积项里，是哑指标；\(i\) 在等式的每一项中出现有且仅有一次，称作自由指标。
\(i = 1, 2, 3\) 作为惯例，之后省略。
向量
向量 \(\mathbf{a}\) 在笛卡尔坐标系 \((\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)\) 下的分量：
\[ a_i = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i \]
使用哑指标，\(\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}_i\).
假设坐标系旋转过一个角度/平移一段距离，变为 \((\mathbf{e}_1', \mathbf{e}_2', \mathbf{e}_3')\)，则
\[ \mathbf{e}_i' = Q_{im} \mathbf{e}_m \]
展开写就是
\[ \left \{ \begin{aligned} \mathbf{e}_1' &= Q_{11} \mathbf{e}_1 + Q_{12} \mathbf{e}_2 + Q_{13} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{e}_2' &= Q_{21} \mathbf{e}_1 + Q_{22} \mathbf{e}_2 + Q_{23} \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{e}_3' &= Q_{31} \mathbf{e}_1 + Q_{32} \mathbf{e}_2 + Q_{33} \mathbf{e}_3 \end{aligned} \right. \]
可以发现，\(Q_{im}\) 就是坐标变换矩阵。
注意
\[ a_i = b_j \]
不是自由指标。
\[ a_i + b_i = c_i \quad \text{or} \quad a_i + b_i c_j d_j = f_i \]
是自由指标。前者即 3 个方程，后者也是 3 个方程，哑指标 \(j\) 展开后等号左边共 4 项。
\[ T_{ij} = A_{im} B_{jm} \]
\(i,j\) 均为自由指标，共 9 个方程，等号右边有 3 项（\(m\) 为哑指标）。
The Kronecker delta
定义：
\[ \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \]
展开写就是
\[ \left \{ \begin{aligned} & \delta_{11} = \delta_{22} = \delta_{33} = 1 \\ & \delta_{12} = \delta_{13} = \delta_{21} = \delta_{23} = \delta_{31} = \delta_{32} = 0 \end{aligned} \right. \]
写成矩阵的形式 \([\delta_{ij}]\):
\[ [\delta_{ij}] = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
即为单位矩阵 \(I\).
Remarks
- \(\delta_{ii} = \delta_{11} + \delta_{22} + \delta_{33} = 3\)
- \(\delta_{1m} a_m = \delta_{11} a_1 + \cancel{\delta_{12} a_2} + \cancel{\delta_{13} a_3} = a_1\) \(\implies \delta_{im} a_m = a_i\)
- \(\delta_{1m} T_{mj} = \delta_{11} T_{1j} + \cancel{\delta_{12} T_{2j}} + \cancel{\delta_{13} T_{3j}} = T_{1j}\) \(\implies \delta_{im} T_{mj} = T_{ij}\)
- 若取 \(T_{mj} = \delta_{mj}\)，则 \(\delta_{im} \delta_{mj} = \delta_{ij}\)
- 还能进一步得到 \(\delta_{im} \delta_{mn} \delta_{nj} = \delta_{ij}\)
\(\delta\) 的作用
\(\delta\) 可以消去一个哑指标！
- \(\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}\)
The Permutation symbol
\[ \varepsilon_{ijk} = \left \{ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right\} \text{如果 } i,j,k \text{ 是 } 1,2,3 \text{ 的} \begin{pmatrix} \text{偶排列} \\ \text{奇排列} \\ \text{不构成排列} \end{pmatrix} \]
展开写就是
\[ \left \{ \begin{aligned} & \varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = +1 \\ & \varepsilon_{132} = \varepsilon_{213} = \varepsilon_{321} = -1 \\ & \varepsilon_{111} = \varepsilon_{112} = \ldots = 0 \end{aligned} \right. \]
更抽象地写，
\[\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{jki} = \varepsilon_{kij} = - \varepsilon_{jik} = - \varepsilon_{ikj} = - \varepsilon_{kji}.\]
回忆叉乘，
\[ \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1, \ldots \]
可用置换符号简介地写为
\[ \begin{equation} \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_k. \end{equation} \]
有两个向量 \(\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}_i, \mathbf{b} = b_j \mathbf{e}_j\)，则
\[ \begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (a_i \mathbf{e}_i) \times (b_j \mathbf{e}_j) = a_i b_j (\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j) \\ &= a_i b_j \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_k. \end{aligned} \]
这里使用了 \(j\)，以防止和 \(i\) 混淆。
习题2-12
证明：
\[\varepsilon_{ijm} \varepsilon_{klm} = \delta_{ik} \delta_{jl} - \delta_{il} \delta_{jk}.\]
这个式子很有用。
指标操作