二维电子气¶

• 二维电子气基本特性
• 量子霍尔效应，拓扑舞台
• 二维 Van der Waals 材料和量子材料

2DEG 广泛存在于金属薄膜、异质结界面、薄层二维材料等。

波函数

色散关系

\(U(x,y) = 0, U(z) \neq 0\)

重要参量¶

• 电子密度 \(n_s\)
• 有效质量 \(m^*\)
• 迁移率 \(\mu = \frac{e \tau_m}{m^*}\)
  • \(\tau_m\)：动量弛豫时间
• 费米波矢 \(k_F = \sqrt{2 \pi n_s}\)
• 费米速度 \(v_F = \frac{\hbar k_F}{m^*}\)
• 费米波长 \(\lambda_F = \frac{2 \pi}{k_F}\)
• 平均自由程 \(\ell = v_F \tau_m\)
• 退相干长度 \(L_{\varphi} = v_F \tau_\varphi\)

宏观（macroscopic）\(G = \sigma W/L\) 介观（mesoscopic） 微观（microscopic）

• 霍尔效应

Edwin Hall, 1879

整数量子霍尔效应 1985

• 洞的数量：拓扑不变量

• LGW 范式下的物相和相变

• 拓扑缺陷

• 量子霍尔效应的拓扑性

霍尔电阻 \(R_{xy}\) 对系统自身变化的不敏感性源于量子霍尔体系的拓扑不变性，用陈数（Chern number）描述。

• 电子在磁场中的运动

回转频率 \(\omega_C = \frac{eB}{m}\)（经典）

• 自由电子量子模型：

强磁场下 \(H = \frac{1}{2m}(p + eA)^2\)，\(A\) 为磁矢势

• 朗道能级

简并度等于磁通密度（？

态密度 \(N(E) = \frac{m}{\pi \hbar^2}\)

简并度 \(D = N(E) \cdot \hbar \omega_C = \frac{\pi}{\phi_0}\)

实空间中：在有限宽样品中，能带弯曲

电子数量和磁通数量一一对应

• 三维拓扑绝缘体

• 量子反常霍尔效应（QAH）

Landauer's formula

Landauer-Büttiker formula

计算弹道输运的状态

• 量子自旋霍尔（QSH）中的量子化电阻

• 分数量子霍尔效应

• 粒子的统计特性

  • 玻色子：波函数不变
  • 费米子：引入符号
  • 阿贝尔准粒子：引入相位
  • 非阿贝尔准粒子：引入矩阵项

复合费米子（CF, composite fermion）理论可以解释大部分分数量子霍尔效应，但是 5/2（偶数分母）不行！

准粒子不满足阿贝尔统计规律，进行交换会使系统在简并的基态间转换，这是发展拓扑量子计算的基础。

量子霍尔效应重要实验¶

• 分数电荷的实验探测
  • 散粒噪声（shot noise）
  • Direct observation of a fractional charge (Nature, 1997)
    • \(\nu = 1/3\) 态的 \(e/3\)
• 分数电荷和分数统计的实验探测
  • 量子点接触隧穿（不是很直接？
  • Fabry-Pérot 干涉仪
    • 小的样品做不了，电荷作用大于干涉（PRB, 2009）
  • 新结构 GaAs/AlGaAs 异质结中的阿贝尔统计（2020）

二维材料¶

石墨烯¶

• 石墨烯（graphene）的出现
• 获得石墨烯
  • 机械剥离（用胶带撕）
  • 化学气相沉积（CVD）
• 石墨烯表征测量
  • 原子力显微镜（AFM）
  • 拉曼光谱（Raman spectroscopy）
• 单层石墨烯的能带结构
  • 两种“不一样”的点
    • K 点：Dirac 点
    • K' 点：反向 Dirac 点
  • 异质结是抛物线型，均匀分布；而石墨烯是线性，不均匀
  • 没有带隙
• 双层石墨烯的能带结构
  • 没有带隙
  • 8-fold degeneracy
• 获得高质量的石墨烯
  • 硅片很粗糙，石墨烯放上去就不平了
  • 氮化硼作为衬底

electronics, spintronics, valleytronics...

• 石墨烯中的自旋波和自旋超流

二维磁性材料¶

在单元胞层厚度具有长程磁序的材料。

• 电控磁振子开关
  • CrPS\(_4\)（PKU）

二维过渡金属硫族化合物（TMDCs）¶

MX\(_2\) 型化合物，M 代表过渡金属，X 代表硫族元素。部分功能比石墨烯更强大。

Next-generation electronics - 2D FET

MoS\(_2\)

魔角（\(1.1^\circ\)）¶

• 莫尔超晶格中的铁电
• 菱方堆垛多层石墨烯