复杂系统的统计物理¶

软物质¶

• 没有长程有序

• 尺度：生命尺度

• 1905，Einstein 解释布朗运动

• Max Born
• Peter Debye
• Pierre-Gilles de Gennes

  • Soft Matter (1991 Nobel Prize speech)

    1. Flexibility（灵活性）
    2. 数学：非线性效应显著
    3. 物理：易受温度影响，熵效应显著

    非牛顿流体

    剪切响应 vs. 剪切力变化率

    1. Complexity（复杂性）
    2. 结构：短程有序、长程无序
    3. 热力学：亚稳态、非平衡态
    4. 动力学：非均匀性、多重弛豫

玻璃态（非晶态）物质¶

什么是液体？什么是固体？

玻璃化转变

C. Austen Angell, Liquid viscosity \(\eta = \eta(T)\)

Angell Plot: \(\log \eta\) vs. \(T_g / T\)

• Strong liquids: Arrhenius law

• Fragile liquids: VFT law

• 在玻璃态转变点附近，动力学行为随着温度的微小改变会发生数量级的变化！
• 结构没有显著改变

自旋玻璃

分子动力学模拟¶

1. 给定初始位置 \(\vec{r}_0\) 和速度，时间间隔 \(\Delta t\)
2. 计算力 \(\vec{F} = -\nabla V(\vec{r})\) 和加速度 \(\vec{a} = \vec{F}/m\)
3. 移动原子 \(\vec{r}^{(i+1)} = \vec{r}^{(i)} + \vec{v}^{(i)} \Delta t + \frac{1}{2} \vec{a} \Delta t^2 + \ldots\)
4. 更新速度 \(\vec{v}^{(i+1)} = \vec{v}^{(i)} + \vec{a} \Delta t + \ldots\)
5. 更新时间 \(t = t + \Delta t\)
6. 重复步骤 2-5

分子力场

• EAM 势：Embedded-Atom Model
• 人工智能构建力场

统计方法¶

graph TD
    A[Solid] --> B(固体物理)
    C[Liquid] --> D(流体物理？)
    E[Gas] --> F(统计物理)
    G[Plasma] --> H(等离子体物理)

• 经典力学、电动力学、量子力学：系统的演化（轨迹）

• 统计物理：系综 Ensemble（分布）

  • Boltzmann distribution
  \[ P(E) = \frac{e^{-E/k_B T}}{Z} \]
  • Partition function
  \[ Z = \sum_i e^{-E_i/k_B T} \]
  • Free energy

研究对象自由

人工智能¶

Hopfield 网络¶

基于 Ising 模型

神经元的两个状态 \(V_i = \begin{cases} 1 & \text{firing} \\ 0 & \text{not firing} \end{cases}\)

能量函数 $$ E = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} J_{ij} V_i V_j $$