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超导量子计算与量子模拟

  • 大量：\(N_A\) 量级
  • 相互作用：非单粒子行为
  • 宏观尺度：热力学极限
  • 物理性质：可观测的物理量

多粒子系统极其复杂

\[ H \psi(r_1, r_2, \ldots, r_N) = E \psi(r_1, r_2, \ldots, r_N) \]
  • 经典模拟量子系统
  • Hilbert 空间指数大
  • 近似方法、算法

Simulating Physics with Computers

R. P. Feynman

量子比特与 Bloch 球

量子比特：服从量子力学规律的二能级系统

\(\ket{0}\) 和 \(\ket{1}\) 的叠加态：\(\ket{\psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}\)，其中 \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\)，满足归一化条件 \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)。

\[ \ket{\psi} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \ket{0} + e^{\mathrm{i} \phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \ket{1} \]

练习

计算 Pauli 矩阵 \(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\) 的均值，解释 \(\theta/2\) 的来源。

量子计算和经典计算

Quantum Computing vs Classical Computing

构造量子比特

  • 中性原子
  • 离子阱
  • 超导量子比特

如何构造量子计算机？

DiVincenzo 判据：

  1. 可扩展的二能级系统
  2. 长的相干时间
  3. 量子态的读取
  4. 通用量子逻辑门集合
  5. 量子态初始化

电路量子化

  • 定义参考结点和有效结点
  • 引入结点的通量
\[ \phi_n(t) = \int_{-\infty}^t V_n(\tau) \, \mathrm{d}\tau \]
  • 动能 \(T\)：电容性元件能量
  • 势能 \(V\)：电感性元件能量
  • 定义拉格朗日量，得到正则动量和哈密顿量

LC 谐振子的量子化

  • 拉格朗日量：\(L(\phi, \dot{\phi}) = \dfrac{C \dot{\phi}^2}{2} - \dfrac{\phi^2}{2L}\)
  • 正则动量：\(q = C \dot{\phi}\)
  • 哈密顿量：\(\widehat{H} = \dfrac{\hat{q}^2}{2C} + \dfrac{\hat{\phi}^2}{2L}\)

能级等间距

宏观量子现象

  • 经典电流：\(\sim 10^{23}\) 个微观自由度，电流是平均的宏观结果
  • 超导电流：单个波函数表达

Josephson 效应

超导体之间夹着绝缘体

  • DC 约瑟夫森效应：\(I = I_c \sin(\delta)\)
  • AC 约瑟夫森效应：\(V = \frac{\Phi_0}{2\pi} \frac{\partial \delta}{\partial t}\)

类比电感定义 \(V = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\)，等效非线性电感：

\[ L_J = \frac{\Phi_0}{2\pi \sqrt{I_c^2 - I^2}} \]
\[ \hat{H} = 4E_C \hat{n}^2 - E_J \cos \hat{\delta} \]
  • \(E_C = \frac{e^2}{2C}\)
  • \(E_J = \frac{\Phi_0}{2\pi} I_c\)
  • \(\hat{n} = \frac{1}{2e} \hat{q}\)

通用量子门 - 单比特量子态操控

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Z 控制

并联两个 Josephson 结 SQUID

改变能级间距，让态绕 \(z\) 轴旋转

XY 控制

驱动微波 \(\Omega \cos(\omega_d t + \phi)\)

\[ \hat{H}(t) = -\frac{1}{2}\hbar \omega_{10} \hat{\sigma}_z + \hbar\frac{\Omega}{2} \left(\hat{b}^\dagger e^{-\mathrm{i} (\omega_d t + \phi)} + \hat{b} e^{\mathrm{i} (\omega_d t + \phi)}\right) \]

在 \(\omega_d\) 的旋转参考系下，旋波近似：

\[ \hat{H} = \frac{1}{2}\hbar \delta_q \hat{\sigma}_z + \frac{1}{2} \hbar \Omega \left(\hat{\sigma}_x \cos \phi + \hat{\sigma}_y \sin \phi \right) \]

绕 \(\phi\) 方向的水平轴旋转

控制作用时间

相干时间和初始化

环境干扰系统，退相干

  • 能量驰豫 \(T_1\)（100 μs）
    • 与环境能量交换
  • 退相位 \(T_{\phi}\)（20 μs, spin echo）
    • 频率波动

最简单的量子态初始化：等待

量子比特相互作用

  • 电容耦合
\[ \widehat{H} = \hbar \underset{\text{Qubit}}{\boxed{\sum_{j = 1,2} -\frac{1}{2} \hbar \omega_j \hat{\sigma}_z^j}} + \underset{\text{coupling}}{\boxed{\hbar \textcolor{red}{g} (\sigma_1^+ \sigma_2^- + \sigma_1^- \sigma_2^+)}} \]
  • 谐振腔耦合
\[ \widehat{H} = \underset{\text{耦合腔}}{\boxed{\hbar \omega_R \hat{a}^\dagger \hat{a}}} + \hbar \sum_{j = 1,2} \left[\underset{\text{Qubit}}{\boxed{\sum_{j = 1,2} -\frac{1}{2} \hbar \omega_j \hat{\sigma}_z^j}} + \underset{\text{coupling}}{\boxed{\textcolor{red}{g_j} (\hat{a}^\dagger \sigma_j^- + \hat{a} \sigma_j^+)}}\right] \]
  • 耦合器耦合
\[ \widehat{H} = \underset{\text{耦合器}}{\boxed{-\frac{1}{2} \hbar \omega_c \hat{\sigma}_z^c}} + \hbar \sum_{j = 1,2} \left[\underset{\text{Qubit}}{\boxed{-\frac{1}{2} \hbar \omega_j \hat{\sigma}_z^j}} + \underset{\text{coupling：qubit - coupler}}{\boxed{\textcolor{red}{g_j} (\hat{\sigma}_j^+ \hat{\sigma}_c^- + \hat{\sigma}_j^- \hat{\sigma}_c^+)}}\right] + \underset{\text{coupling: qubit - qubit}}{\boxed{\hbar \textcolor{red}{g_{12}} (\hat{\sigma}_1^+ \hat{\sigma}_2^- + \hat{\sigma}_1^- \hat{\sigma}_2^+)}} \]

量子比特集成

  • 全联通架构
    • 任何两个量子比特都可以相互作用
    • 可拓展性差
  • 二维网络架构（主流）
    • 可以在平面上铺开，拓展性好
    • 只有相邻的量子比特可以相互作用

量子比特读取

\[ \ket{\phi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1} \overset{\text{观测后}}{=} \begin{cases} \ket{0}, & \text{with probability } |\alpha|^2 \\ \ket{1}, & \text{with probability } |\beta|^2 \end{cases} \]
  • 探测释放的光子
    • \(\ket{0}\)：不能释放光子
    • \(\ket{1}\)：可以释放光子

问题：释放光子后的比特又会变成 \(\ket{0}\)

直接测量容易使系统受噪声影响

间接测量：引入辅助量子系统，退相干性好

\[ \widehat{H} = \widehat{H}_{\text{q}} + \widehat{H}_{\text{probe}} + \widehat{H}_{\text{int}} \]
  • \(\widehat{H}_{\text{q}}\)：量子比特哈密顿量
  • \(\widehat{H}_{\text{probe}}\)：探测器哈密顿量
  • \(\widehat{H}_{\text{int}}\)：相互作用
  • 对易性：\(\left[\widehat{H}_{\text{q}}, \widehat{H}_{\text{probe}}\right] = 0\)

读取量子比特 \(\to\) 探测读取腔的频率

\[ \widehat{H}/\hbar = (\omega_r + \chi \hat{\sigma}_z) \hat{a}^\dagger \hat{a} - \frac{1}{2} \tilde{\omega}_q \hat{\sigma}_z \]
  • \(\ket{0}\) 时，\(\hat{\sigma}_z = -1\)，腔频率 \(\omega_r - \chi\)
  • \(\ket{1}\) 时，\(\hat{\sigma}_z = +1\)，腔频率 \(\omega_r + \chi\)

如果有 \(n\) 个量子比特？

\[ \ket{\psi} = a_1 \ket{000\ldots 000} + a_2 \ket{000\ldots 001} + \ldots + a_{2^n} \ket{111\ldots 111} \]
  • 构建出完整的波函数不可能！要进行 \(2^n\) 次以上的测量

频率复用读取

单个超导量子比特的平面电路

电容和金属板之间的边缘抽真空，形成电容

  • 操控芯片的温度要求
    • 超导
    • \(kT \ll \hbar \omega\)

多比特超导量子芯片

重要指标：

  1. 操控比特数目
  2. 相干时间
  3. 操控门精度

量子模拟

热化

  • 经典热化：冰化成水，形状信息丢失
  • 量子热化：（封闭系统）幺正演化 \(U\)（是可逆的，但实操不可行），粒子的信息弥散到整个希尔伯特空间

本征态热化假定

微正则系综

避免热化

  • 多体局域化（strong breaking of ergodicity）
    • 所有本征态非热化
    • 能谱统计呈现泊松分布
  • 多体疤痕态（weak breaking of ergodicity）