ARPES¶

能带结构与角分辨光电子能谱

固体物理：周期势场

布里渊区：周期性势场下的动量空间

自由电子模型、紧束缚模型

自由电子 \(\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)

周期性势场下的电子（能带）

\[ \begin{vmatrix} \frac{\hbar^2 k^2}{2m} & \end{vmatrix} \]

紧束缚下的能带：能带宽度与不同原子位的电子轨道波函数交叠大小有关

孤立原子能级：动量空间上非常弥散，没有变化。在实空间中 localized

电子能带的重要性

发光二极管
高温超导体

直接能隙（CB和VB之间有一段没有电子占据）：电子从价带跃迁到导带，动量变化远小于布里渊区的大小，近似动量守恒，易发光

间接能隙：为了满足动量守恒，还要放出声子

拓扑绝缘体：块体绝缘，表面有自旋极化的电子态（拓扑保护）

测量费米面的手段：量子振荡（早期）

现代的手段：Angle-Resolved PhotoEmission Spectroscopy (ARPES)

能量守恒：

\[ E_{\text{kinetic}} = h\nu - \Phi_{\text{wf}} - |E_b| \]

\(\Phi_{\text{wf}}\)：功函数，费米能电子变成自由电子所需要的能量
\(E_b\)：电子相对于费米能量的能量，i.e. 费米能量上的电子 \(|E_b| = 0\)

\[ E_b \, \begin{cases} < 0, & \text{占据电子态} \\ > 0, & \text{高于费米能量的未占据电子} \end{cases} \]

考虑费米能量的电子，\(E_{\text{kin}} = h\nu - \Phi_{\text{wf}}\)，三个量都可以实验测得。对于不是费米能量的电子，可以推出 \(|E_b|\) 的大小

面内动量守恒：

\[ k_{\parallel} = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} E_{\text{kin}}} \sin \theta \]

通过测量 \(E_{\text{kin}}\) 和 \(\theta\)，可以得到能量和动量的信息，即强度（电子数目）关于动量能量的函数 \(I(k_x, k_y, |E_b|)\)，可以推出能带结构！

对于 \(\sim 100 \, \text{eV}\) 的光子，动量 \(\sim 0.00001 \, Å^{-1}\)，可忽略

动量分布曲线/能量分布曲线（固定一个参数得到）

\[ I(E_b, k_{\parallel x}, k_{\parallel y}) \propto \left|M_{f,i}^{\mathrm{k}} \right|^2 f(E_b) A(\mathbf{k}, E_b) \]

\(\left|M_{f,i}^{\mathrm{k}} \right|^2\)：光电激发概率（截面）
\(f(E_b)\)：费米狄拉克函数
\(A(\mathbf{k}, E_b)\)：谱函数（固体内在信息）

普朗克（？）电子理论上寿命为无穷大

\[ A(\mathbf{k}, E_b) = \frac{\Gamma_k/\pi}{} \]

应用¶

量子霍尔效应¶

经典霍尔效应

\[ R_{\text{H}} = \frac{U_{\text{Hall}}(x)}{I_{\text{DC}}(y)} = \frac{B}{nec} \propto B \]

低温强磁场下，霍尔系数出现平台！
- 平台位置非常精确 \(\frac{1}{n} \times \frac{h}{e^2}\)
- 平台中纵向电阻 \(\rho_{xx} = \frac{V_{\text{DC}}(y)}{I_{\text{DC}}(y)}\) 为 \(0\)
- 来自 Landau 能级

整数量子霍尔效应，Klaus von Klitzing, 1985 Nobel Prize

石墨烯的狄拉克费米子¶

电导 \(\sigma_{xy} \overset{\text{approx.}}{\sim} \frac{1}{R_{\text{H}}}\)

石墨烯：半整数量子霍尔效应

在发现石墨烯之前的二维电子气：\(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)

石墨烯：\(E = hk \times v\)，和 \(k\) 呈线性关系！

\(E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4\)，当 \(E \propto pc \propto k\)，静止质量 \(m_0 = 0\)！无静止质量的费米子在固体中可以得到！？

4 个电子，3 个电子形成 \(\sigma\) 键，还有一个 \(p_z\) 轨道

pseudo-spin

\[ \psi = \begin{pmatrix} e^{\mathrm{i} \theta /2} \\ \pm e^{-\mathrm{i} \theta /2} \end{pmatrix} \]

\(\theta\) 转一圈 \(2\pi\)，\(\psi\) 并没有回到原来的状态

类似于电子的 Pauli 矩阵（？）

单层石墨烯，Berry Phase \(= \pi\)

\[ \psi = \begin{pmatrix} e^{\mathrm{i} \theta} \\ b \\ b \\ \pm e^{-\mathrm{i} \theta} \end{pmatrix} \]

双层石墨烯，Berry Phase \(= 2\pi\)
Bloch wave function: \(n(\mathbf{R})\)
Berry phase 定义：

\[ \gamma_n = \mathrm{i} \oint_C \mathrm{d} \mathbf{R} \left\langle n(\mathbf{R}) | \nabla_{\mathbf{R}} | n(\mathbf{R}) \right\rangle \]

Berry phase 与外界磁场无关，但是需要通过磁场体现出来

量子霍尔效应的拓扑解释¶

拓扑物态¶

Gauss-Bonnet 定理

\[ \int_S \kappa \, \mathrm{d}A = 4\pi (1-g) \]

其中 \(\kappa = \frac{1}{r_1 r_2}\) 为表面曲率，\(g\) 为表面穿孔数目

边界态数目 \(\iff\) 几何体的穿孔数目

这可以解释霍尔电导为 \(e^2/h\) 的整数倍

\[ \sigma_{xy} = - \nu \frac{e^2}{h} \]

Chern number \(n\):

\[ n = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \mathrm{d}^2 k \, \mathbf{F}(\mathbf{k}) = \frac{1}{2\pi} \oint_C \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{k} \]

\(\mathbf{A} = -\mathrm{i} \left\langle u(\mathbf{k}) | \nabla_{\mathbf{R}} | u(\mathbf{k}) \right\rangle\)

三维拓扑绝缘体¶

拓扑绝缘体特点

块体是绝缘体（半导体）
表面有受拓扑保护的表面态
表面态是自旋极化且与动量耦合
表面态可以认为是狄拉克费米子

固体物理中，绝大部分能带的简并度为 2

在时间反演不变点出现能带翻转（马鞍型）

Hubbard 模型和 Mott 绝缘体¶

单带 Hubbard 模型

\[ H = \underset{\text{紧束缚能带}}{\underbrace{-t \sum_{\langle j,l \rangle} \sum_{\sigma} \left(c_{j\sigma}^{\dagger} c_{l\sigma} + c_{i\sigma}^{\dagger} c_{j\sigma}\right)}} + \underset{\text{Hubbard interaction}}{\underbrace{U \sum_j \hat{n}_{j\uparrow} \hat{n}_{j\downarrow}}} \]

\[ \begin{cases} |-2t| \gg U, & \text{弱关联，金属} \\ |-2t| <\sim U, & \text{强关联，绝缘体} \end{cases} \]

超导的母态（未掺杂）：Mott 绝缘体

Mott-Hubbard 转变¶

在很大的 \(U\) 区间里，既有局域的 Hubbard 能带（远离费米能量 \(E_f\)），也有巡游的准粒子态（费米能量附近）。电子既局域，又巡游！

总结

丰富的物理 & 呈展现象（more is different），应用价值（磁存储、超导 etc.）
重要性质：