第一章波函数¶

1.1 Schrödinger 方程¶

非相对论情形 $v \ll c$

教材：Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics

量子力学发展历史？早期理论？

直接从核心内容讲起

量子¶

不连续的（量子化的）
- 分立量子化的能级，能量是一份一份的（黑体辐射，Planck）
不确定的
1. Heisenberg 不确定性原理：不能同时测量位置和动量
2. Schrödinger 的猫：不死不活
3. 波粒二象性：又是波又是粒子
4. 双缝干涉
5. 意识：测量对态的作用、破坏
微观的
- 原子内部电子
- 宏观就没有量子吗？
  - 超导
  - 超流
  - 量子霍尔效应

只通过这些名词，能否理解量子力学？

错误的学习方式

只学习孤立的概念

建立系统的逻辑框架

经典力学 vs. 量子力学¶

经典力学¶

\[ \text{力学} \begin{cases} \text{kinetics} & \text{运动学} \\ \text{dynamics} & \text{动力学} \to \text{牛二} \quad F = ma \\ \end{cases} \]

研究对象：宏观物体抽象为质点

质量为 $m$，运动状态 $x(t), v(t) \to $ 测量出来
受力分析 $F \to$ 反映了相互作用

\[ \left. \begin{aligned} \left. \begin{aligned} \text{牛顿第二定律} \quad F = ma \longrightarrow \text{求解出 } x(t) & \\ \text{保守体系} \quad F = -\frac{\partial V}{\partial x} & \end{aligned} \right\} \, m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = -\frac{\partial V}{\partial x} & \\ \text{初始条件 } x_0, v_0 & \end{aligned} \right\} \, \text{求出 } x(t) \]

$x(t) \to v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$，$p = mv, T = \frac{1}{2} mv^2$ 为动力学量

\[ \boxed{ \text{系统状态} \iff \text{可观测力学量} \iff \text{观测结果} } \]

而在量子力学中不是这样的。

\[ \text{牛顿力学} \longrightarrow \text{理论力学}(\underset{\text{矢量}}{\underbrace{\text{力}}} \to \underset{\text{标量}}{\underbrace{L, H}}) \longrightarrow \underset{\text{哈密顿方程求解}}{\mathcal{H}} \]

位置 vs. 动量相空间中的粒子轨迹 $H(\vec{r}, \vec{p})$

量子力学¶

量子力学：寻找粒子的波函数 $\Psi(x, t), \Psi \in \mathbb{C}$

通过 Schrödinger 方程研究：

\[ \begin{equation} \label{eq:schrodinger} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V \Psi \equiv H \Psi \end{equation} \]

用态矢量描述系统状态
算符描述力学量（$H$： Hamiltonian 算符）
系统状态随薛定谔方程变化

波动方程¶

特点：形状不变，$f(x, t) = f(x - vt)$

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \]

解：$f(x, t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t)}$

\[ \begin{array}{c} \text{几何光学} \xleftarrow{\text{短波极限}} \text{波动光学} \\[1em] \text{分析力学} \xleftarrow[\text{短波极限}]{h \to 0} \text{量子力学} \\ \end{array} \]

1.2 波函数的统计诠释¶

波函数到底是什么也困惑了它的发明者很久，直到玻恩（Max Born）得以解决。

Born 的学生：程开甲、黄昆、彭恒武、杨立铭

\[ \int_a^b |\Psi(x, t)|^2 \, \mathrm{d} x = t\text{ 时刻发现粒子处于 } [a, b] \text{ 之间的概率} \]

其中 $|\Psi|^2 = \Psi^* \Psi$，$\Psi^*$ 为 $\Psi$ 的复共轭。

$\Psi$：概率幅
$|\Psi|^2$：概率密度

Tip

在这里，$\Psi^* \Psi$ 和 $\Psi \Psi^*$ 是同一个东西，因为它们都是一个复数值。到后面我们将概念迁移到复矢量，顺序就变得重要了。

引入不确定性

某一时刻测量粒子的位置，发现其在 $C$ 点。那么测量前一时刻粒子的位置在哪里？

现实主义学派：仍在 $C$ 点
（正统）哥本哈根学派：粒子不在任何地方，测量对粒子的作用使其在 $C$ 点
~~不可知论~~

测量使波函数坍缩！ 测量是一种相互作用，会改变态。

\[ \boxed{ \text{演化} + \text{测量} } \]

波函数和薛定谔方程都是连续的，那么分立的能级从何而来？

1.3 概率¶

离散¶

有分布：$N(j), j = 1, 2, \ldots, n.$ 全体 $N = \sum_{j=1}^n N(j)$

$j$ 的概率： $$ P(j) = \frac{N(j)}{N}, \quad \sum_{j=1}^n P(j) = 1 $$
最可几（最概然）：使 $P(j)$ 最大的 $j$
中值（median）
平均 $$ \braket{j} = \frac{\sum_{j=1}^n j N(j)}{\sum N(j)} = \sum_{j=1}^n j P(j) $$
- 多次测量取平均
- 平方平均 $$ \braket{j^2} = \sum_{j=1}^n j^2 P(j) $$
一般而言，$\braket{j^2} \neq \braket{j}^2$

“弥散”的量度：方差

使用 $\Delta j = j - \braket{j}$

\[ \begin{aligned} \braket{\Delta j} &= \sum_{j=1}^n (j - \braket{j}) P(j) \\ &= \sum_{j=1}^n j P(j) - \braket{j} \sum_{j=1}^n P(j) \\ &= \braket{j} - \braket{j} = 0 \end{aligned} \]

这不太好。

使用 $\sigma^2 = \braket{(\Delta j)^2}$，定义为方差（variance）
- $\sigma$ 标准差（standard deviation）

\[ \begin{aligned} \sigma^2 &= \braket{\Delta j^2} = \sum_{j=1}^n (j - \braket{j})^2 P(j) \\ &= \braket{j^2} - \braket{j}^2 \end{aligned} \]

由 $\sigma^2 \geq 0$ 有 $\braket{j^2} \geq \braket{j}^2$. 当 $\sigma^2 = 0$ 时，即 $\braket{j^2} = \braket{j}^2$，每一元素有相同的值，即处于本征态。

连续¶

有分布：$\rho(x), \, x \in (-\infty, +\infty)$

$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) \, \mathrm{d} x = 1$
$\braket{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} x \rho(x) \, \mathrm{d} x$
$\braket{f(x)} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \rho(x) \, \mathrm{d} x$

高斯（Gaussian）分布

\[ \rho(x) = A \mathrm{e}^{-\lambda (x - a)^2} \]

利用归一化条件确定 $A$
求出 $\braket{x}, \braket{x^2}, \sigma$
画出 $\rho(x)$ 的草图

需要用到 $\(\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \, \mathrm{d} x = \sqrt{\pi}$\)

$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) \, \mathrm{d} x = 1 \implies A = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}$
由对称性， $$ \int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-\lambda x^2} \, \mathrm{d} x = 0. $$

故

\[ \braket{x} = a. \]

平方平均

\[ \braket{x^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}} \mathrm{e}^{-\lambda (x - a)^2} \, \mathrm{d} x = a^2 + \frac{1}{2\lambda} \]

标准差

\[ \sigma = \sqrt{\braket{x^2} - \braket{x}^2} = \frac{1}{\sqrt{2\lambda}} \]

\[ \Psi(x,t) \to |\Psi(x,t)|^2 = \rho(x,t) \]

波函数代表了对位置测量¹的概率幅。

为何同一系统 ensemble 多次测量，每次测量结果不一样？

系统的状态不是所测量的一个确定态（$\sigma = 0$），而是多个确定态（本征态）的叠加。

\[ |\Psi(x_1,t)|^2 \ket{x_1} + |\Psi(x_2,t)|^2 \ket{x_2} + \cdots \]

1.4 归一化¶

统计诠释指出 $|\Psi(x, t)|^2$ 是在 $t$ 时刻发现粒子在 $x$ 位置处的几率密度，那么有

\[ \begin{equation} \label{eq:normalization} \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, \mathrm{d}x = 1. \end{equation} \]

但是 $\Psi$ 由薛定谔方程确定，薛定谔方程并不依赖于这个条件。注意到式 \eqref{eq:schrodinger} 是二元一次二阶偏微分方程，只含 $\Psi$ 的线性项，故任意乘以一个因子 $A$ 都是解。选取特定的 $A$ 使得式 \eqref{eq:normalization} 成立，称为归一化（normalization）。

不可归一化的情形

$\Psi = 0$（平凡解）
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t)}$（平面波）：积分无限大

不能归一化的解不能描述粒子运动，必须舍弃！物理上可实现的态对应的薛定谔方程的解都是平方可积（square-integrable）的。

如何保证 $\Psi$ 随时间演化时能保持归一化？

注意到 $A$ 不能是时间的函数，不然 $A\Psi$ 就不是薛定谔方程的解了！如果不能保证归一化，整个统计诠释理论就会崩溃！

薛定谔方程有很好的“特性”，它能自动保持波函数的归一化！

Proof.

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x,t)|^2 \, \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t} |\Psi(x,t)|^2 \, \mathrm{d} x \]

代入 $|\Psi|^2 = \Psi^* \Psi$，

\[ \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} = \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \Psi + \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t}. \]

由薛定谔方程 \eqref{eq:schrodinger} 有

\[ \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{1}{\mathrm{i} \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V \Psi \right) = \frac{\mathrm{i} \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} - \frac{\mathrm{i}}{\hbar} V \Psi \]

对上式取复共轭，得

\[ \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right)^* = \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} = -\frac{\mathrm{i} \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} + \frac{\mathrm{i}}{\hbar} V \Psi^* \]

这里利用了 $(ab)^* = a^* b^*$ 和 $V^* = V$（势能是实数）的事实。

代入 $\frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t}$，得

$$

1.5 动量¶

1.6 不确定性原理¶

\[ \sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2} \]

此为位置表象，也可以是动量等其他力学量的表象。 ↩

第一章 波函数¶