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第三章 形式理论

\[ \text{具体的例子} \to \text{抽象的总结规律} \to \text{逻辑体系和框架} \]

量子力学建立在两个概念基础上：

  • 体系的状态（state）用波函数表示 \(\to\) 满足抽象矢量（vector）定义
  • 可观察量（observable）用算符表示 \(\to\) 作为线性变换（linear transformation）作用于矢量

因此量子力学的自然语言就是线性代数（linear algebra）。

3.1 数学基础

线性代数

  • 线性映射：满足
\[ \begin{align} T(\vec{a} + \vec{b}) = T\vec{a} + T\vec{b} \tag{可加性}\\ T(k \vec{a}) = k T\vec{a} \tag{比例性} \end{align} \]
  • 线性变换：数域 \(\mathbb{F}\) 上线性空间 \(V\) 到线性空间 \(W\) 的映射 \(T: V \mapsto W\)，如果对任意 \(\vec{a}, \vec{b} \in V\) 和 \(k \in \mathbb{F}\) 都满足上面两个条件，则称 \(T\) 为线性变换。

希尔伯特空间

所有 \(x\) 的函数的集合构成了一个矢量空间（vector space）。而我们将要考虑的是，在特定区间内平方可积（square-integrable）的函数的集合，数学家记为 \(L^2(a,b)\) 空间，物理学家称之为希尔伯特空间（Hilbert space）。波函数存在于 Hilbert 空间中。

  • 内积（inner product） $$ \braket{f|g} \equiv \int_a^b f^*(x) g(x) \, \mathrm{d}x $$
    • 归一化 $$ \braket{\psi|\psi} = 1 $$
    • 正交 $$ \braket{\psi_m|\psi_n} = \delta_{mn} $$
  • 函数集 正交归一化的函数集 \(\{f_n(x)\}\) 满足 $$ f(x) = \sum_n c_n f_n(x),\quad c_n = \braket{f_n|f} $$
    • 完备性 任何函数都能用函数集线性表示，则该函数集是完备的。

矢量空间（附录 A1）

矢量空间（vector space）是一组矢量（vectors）\((\ket{\alpha}, \ket{\beta}, \ket{\gamma}, \ldots)\)，加上一组标量（scalars）\(a, b, c, \ldots\) 组成。

  • 矢量相加
    • 对加法封闭 $$ \ket{\alpha} + \ket{\beta} = \ket{\gamma} $$
    • 满足交换律（commutative） $$ \ket{\alpha} + \ket{\beta} = \ket{\beta} + \ket{\alpha} $$
    • 满足结合律（associative） $$ \ket{\alpha} + (\ket{\beta} + \ket{\gamma}) = (\ket{\alpha} + \ket{\beta}) + \ket{\gamma} $$
    • 存在零矢量（zero/null vector）\(\ket{0}\)，使得 $$ \ket{\alpha} + \ket{0} = \ket{\alpha} $$
    • 每个矢量都有一个逆矢量（inverse vector）\(-\ket{\alpha}\)，使得 $$ \ket{\alpha} + -\ket{\alpha} = \ket{0} $$
  • 标量相乘
    • 对乘法封闭 $$ a \ket{\alpha} = \ket{\beta} $$
    • 标量相乘的分配率（distributive） $$ a(\ket{\alpha} + \ket{\beta}) = a\ket{\alpha} + a\ket{\beta} $$
    • 标量相加的分配率 $$ (a + b)\ket{\alpha} = a\ket{\alpha} + b\ket{\alpha} $$
    • 标量积的结合律 $$ a(b\ket{\alpha}) = (ab)\ket{\alpha} $$
    • \(0 \ket{\alpha} = \ket{0}, 1 \ket{\alpha} = \ket{\alpha}, \ket{-\alpha} = -\ket{\alpha}\)

内积空间（附录 A.2）

设 \(\ket{\alpha} = a_1 \ket{e_1} + a_2 \ket{e_2} + \ldots + a_n \ket{e_n}, \, a_n \in \mathbb{C}\)，则 \(\ket{\alpha}\) 的共轭转置（conjugate transpose）定义为

\[ \bra{\alpha} = a_1^* \bra{e_1} + a_2^* \bra{e_2} + \ldots + a_n^* \bra{e_n} \]

两个矢量 \(\ket{\alpha}, \ket{\beta}\) 的内积（inner product）定义为

\[ \braket{\alpha|\beta} = \bra{\alpha} \cdot \ket{\beta} = a_1^* b_1 + a_2^* b_2 + \ldots + a_n^* b_n \in \mathbb{C}. \]

内积的性质：

\[ \begin{array}{c} \braket{\beta|\alpha} = \braket{\alpha|\beta}^*, \\[1ex] \braket{\alpha|\alpha} \geq 0, \text{ 且 } \braket{\alpha|\alpha} = 0 \iff \ket{\alpha} = \ket{0}, \\[1ex] \braket{\alpha|(b\ket{\beta} + c\ket{\gamma})} = b \braket{\alpha|\beta} + c \braket{\alpha|\gamma}. \end{array} \]

由矢量和其自身内积的非负性，可定义矢量的模（norm）：

\[ \|\alpha\| \equiv \sqrt{\braket{\alpha|\alpha}} \]

正交归一集（orthonormal set）：\(\{\ket{\alpha_n}\}\) 满足

\[ \braket{\alpha_i|\alpha_j} = \delta_{ij} \]

Schwarz inequality：

\[ |\braket{\alpha|\beta}|^2 \leq \braket{\alpha|\alpha} \braket{\beta|\beta} \]

线性变换（附录 A.3）

\[ \ket{\alpha} \xrightarrow{\hat{T}} \ket{\alpha'} = T \ket{\alpha} \]

这里 \(\hat{T}\) 是线性变换（linear transformation）1，满足

\[ \hat{T} (a \ket{\alpha} + b \ket{\beta}) = a \hat{T} \ket{\alpha} + b \hat{T} \ket{\beta} \]

如果知道了线性变换对一组基矢的作用：

\[ \hat{T} \ket{e_j} = T_{ij} \ket{e_j} \]

设 \(\ket{\alpha} = a_i \ket{e_i}\) 为任意矢量，

\[ \hat{T} \ket{\alpha} = a_i (\hat{T} \ket{e_i}) = a_i T_{ij} \ket{e_j} \]

第 \(j\) 个分量为 \(a_j' = T_{ij} a_i\).

如果基矢是正交归一的，则

\[ \begin{equation} T_{ij} = \bra{e_i} \,\hat{T}\, \ket{e_j}. \end{equation} \]

采用矩阵表示

\[ [\hat{T}] = \begin{pmatrix} T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n} \\ T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{n1} & T_{n2} & \cdots & T_{nn} \end{pmatrix} \]
  • 转置（transpose）
  • 共轭（conjugate）
  • 厄米共轭（Hermitian conjugate）（或称伴随（adjoint））：共轭转置，记作 \(\hat{T}^\dagger\)
    • 厄米矩阵（Hermitian matrix）（或自伴矩阵（self-adjoint matrix））： $$ T^\dagger = T $$
    • 斜厄米矩阵（skew-Hermitian matrix）（或反厄米矩阵（anti-Hermitian matrix））： $$ T^\dagger = -T $$
  • 对易子（commutator）： $$ [S, T] = ST - TS $$
  • 幺正矩阵（unitary matrix）： $$ U^\dagger = U^{-1} $$
    • 行，列构成正交归一集（基矢）
    • 保持矢量内积不变： 设 \(\ket{\alpha'} = U \ket{\alpha}, \, \ket{\beta'} = U \ket{\beta}\)，则 $$ \braket{\alpha'|\beta'} = (U \ket{\alpha})^\dagger (U \ket{\beta}) = \bra{\alpha} U^\dagger U \ket{\beta} = \braket{\alpha|\beta} $$

基矢变换（附录 A.4）

设原基矢 \(\ket{e_i}\) 是新基矢 \(\ket{e_i'}\) 的线性组合：

\[ \begin{aligned} \ket{e_1} &= S_{11} \ket{e_1'} + S_{21} \ket{e_2'} + \ldots + S_{n1} \ket{e_n'} \\ \ket{e_2} &= S_{12} \ket{e_1'} + S_{22} \ket{e_2'} + \ldots + S_{n2} \ket{e_n'} \\ &\vdots \\ \ket{e_n} &= S_{1n} \ket{e_1'} + S_{2n} \ket{e_2'} + \ldots + S_{nn} \ket{e_n'} \end{aligned} \]

其中 \(S_{ij} \in \mathbb{C}.\) 写成张量形式：

\[ \ket{e_i} = S_{ij} \ket{e_j'} \]

本征矢和本征值（附录 A.5）

在复矢量空间中2，对任意线性变换 \(\hat{T}\)，都存在一些“特殊”的矢量 \(\ket{\alpha}\)，使得它们在变换下仅被拉伸或压缩，而不改变方向：

\[ \hat{T} \ket{\alpha} = \lambda \ket{\alpha} \]

这里 \(\lambda \in \mathbb{C}\) 称为本征值（eigenvalue），\(\ket{\alpha}\) 称为变换的本征矢（eigenvector）。

矩阵形式：

\[ (T - \lambda I) \vec{a} = 0 \]

非平凡解要求矩阵 \((T - \lambda I)\) 的行列式为零：

\[ \det (T - \lambda I) = 0 \]

得到关于 \(\lambda\) 的特征方程（characteristic equation）：

\[ C_n \lambda^n + C_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + C_1 \lambda + C_0 = 0 \]

对角化

若本征矢量可以张成整个空间，本征矢作为 \(S^{-1}\) 的列矢量，可以将矩阵 \(T\) 对角化：

\[ S^{-1} T S = D \]

矩阵能对角化的充分条件：矩阵 \(N\) 与其厄米共轭 \(N^\dagger\) 对易，称为正规（normal） 矩阵：

\[ [N^\dagger, N] = 0 \]

特别地，每个厄米矩阵和幺正矩阵都是正规矩阵。

两个可对角化矩阵，什么时候能同时对角化？

是否存在一组基矢，其所有分量都是这两个矩阵的本征矢量？

👉 当且仅当这两个矩阵对易。此时它们有一组共同的本征矢量。而且更进一步地，相对于任何一组基矢都对易。

设 \(T\) 的本征矢为 \(\{a^{(i)}\}\)，对应本征值为 \(\{\lambda_i\}\)，

\[ T a^{(i)} = \lambda_i a^{(i)}. \]

设 \([T, V] = 0\)，下面说明 \(a^{(i)}\) 也是 \(V\) 的本征矢。

厄米变换（附录 A.6）

厄米变换的定义：变换 \(\hat{T}\) 不管是作用于内积的第一项还是第二项，内积的结果不变

\[ \begin{equation} \label{eq:hermitian-transform} \braket{\hat{T}^\dagger \alpha|\beta} = \braket{\alpha|\hat{T} \beta} \end{equation} \]

这里省略了一些 \(\ket{\cdot}\).

用矩阵语言：

\[ \braket{\alpha | \hat{T} \beta} = \alpha^\dagger (T \beta) = (T^\dagger \alpha)^\dagger \beta = \braket{\hat{T}^\dagger \alpha | \beta} \]

厄米变换（Hermitian transformation，\(\hat{T}^\dagger = \hat{T}\)）的三个性质：

  1. 本征值是实数 证明：

  2. 不同本征值对应的本征矢正交 证明：

  3. 本征矢构成完备集

3.2 可观测量

3.2.1 厄米算符

可观测量 \(Q(x, p)\) 的期望值

\[ \braket{Q} = \int \Psi^* \hat{Q} \Psi \, \mathrm{d}x = \braket{\Psi|\hat{Q}\Psi} \]

测量的结果 \(\braket{Q}\) 应为实数，即

\[ \braket{Q} = \braket{Q}^* \implies \braket{\Psi|\hat{Q}\Psi} = \braket{\Psi|\hat{Q}\Psi}^* = \braket{\hat{Q}\Psi|\Psi} \]

这恰好是厄米变换的定义（式 \ref{eq:hermitian-transform}）。

3.6.2 Dirac 记号

  1. 矢量
    • Ket 表示矢量：\(\ket{\alpha}\)
    • Bra 表示一种线性函数：\(\bra{\alpha}\)
  2. 投影算符 $$ \hat{P} = \ket{\alpha} \bra{\alpha} $$
  3. 恒等算符
    • 离散正交归一基 \(\{\ket{e_n}\}\) $$ \sum_n \ket{e_n} \bra{e_n} = \hat{I} $$
    • 连续正交归一基 \(\{\ket{e_z}\}\) $$ \int \ket{e_z} \bra{e_z} \, \mathrm{d}z = \hat{I} $$

3.6.3 基矢变换

证明：\(\hat{P} \ket{r'} = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial r'} \ket{r'}\)

  1. 这里在 \(T\) 上面加了个 hat (\(\hat{\,\cdot \,}\))，因为量子算符是线性变换。 ↩

  2. 实矢量空间中并不总是存在本征矢和本征值（标量被限制为实数）。 ↩