第六章 对称性与守恒律
6.1 引言
6.1.1 空间变换
- 平移算符（translation operator）：
\[ \begin{equation} \label{eq:trans-op} \tag{6.1.1} \hat{T}(a) \psi(x) = \psi(x + a) = \psi'(x) \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \label{eq:parity-op} \tag{6.1.2} \hat{\Pi} \psi(x) = \psi(-x) = \psi'(x) \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \label{eq:rot-op} \tag{6.1.3} \hat{R}_z(\varphi) \psi(r, \theta, \phi) = \psi(r, \theta, \phi - \varphi) = \psi'(r, \theta, \phi) \end{equation} \]
6.2 平移算符
事实上，式 \eqref{eq:trans-op} 定义的平移算符可以用动量算符来表示。在 \(x\) 附近对 \(\psi(x - a)\) 做泰勒展开：
\[ \begin{equation} \label{eq:taylor-expand} \tag{6.2.1} \begin{aligned} \hat{T}(a) \psi(x) &= \psi(x - a) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n} \psi(x) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \frac{-\mathrm{i} a}{\hbar} \hat{p} \right)^n \psi(x) = \exp \left( -\frac{\mathrm{i} a}{\hbar} \hat{p} \right) \psi(x) \end{aligned} \end{equation} \]
即
\[ \begin{equation} \label{eq:trans-op-momentum} \tag{6.2.2} \hat{T}(a) = \exp \left( -\frac{\mathrm{i} a}{\hbar} \hat{p}\right) \end{equation} \]
动量是平移算符的“生成元”（generator）。这是李群的一个重要概念。
\(\hat{T}(a)\) 是幺正算符：
\[ \begin{equation} \label{eq:trans-op-unitary} \tag{6.2.3} \hat{T}^{-1}(a) \xlongequal{\text{显然}} \hat{T}(-a) \xlongequal{\eqref{eq:trans-op-momentum}} \hat{T}^\dagger(a) \end{equation} \]
实际上，这是由于 \(\hat{p}\) 是厄米算符。
6.2.1 算符如何平移
波函数 \(\psi\) 平移到 \(\psi'\) 比较好理解，那么平移一个算符是什么意思？其定义为，平移后的算符 \(\hat{Q}'\) 在未平移态 \(\psi\) 的期望值等于未平移算符 \(\hat{Q}\) 在平移态 \(\psi'\) 的期望值：
\[ \bra{\psi'} \hat{Q} \ket{\psi'} = \bra{\psi} \hat{Q}' \ket{\psi} \]
6.3 守恒律
6.4 宇称
6.4.1 一维宇称
宇称算符 \(\hat{\Pi}\) 实现空间反演。在一位情况下，
\[ \hat{\Pi} \psi(x) = \psi'(x) = \psi(-x) \]
显然，\(\hat{\Pi}^{-1} = \hat{\Pi}\)，且 \(\hat{\Pi}^\dagger = \hat{\Pi}\)
6.4.2 三维宇称
真矢量：
\[ \begin{aligned} \hat{\Pi}^\dagger \hat{\boldsymbol{r}} \hat{\Pi} &= - \hat{\boldsymbol{r}} \\ \hat{\Pi}^\dagger \hat{\boldsymbol{p}} \hat{\Pi} &= - \hat{\boldsymbol{p}} \end{aligned} \]
赝矢量：
\[ \hat{\Pi}^\dagger \hat{\boldsymbol{L}} \hat{\Pi} = \hat{\boldsymbol{L}} \]
- 真标量：\(\hat{\Pi}^\dagger f \hat{\Pi} = f\)
- 赝标量：\(\hat{\Pi}^\dagger g \hat{\Pi} = -g\)
6.4.3 宇称选择定则
选择定则：矩阵元何时为 0. 电偶极矩算符
\[ \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} = q \hat{\boldsymbol{r}} \]
显然电偶极矩算符是奇宇称的：
\[ \hat{\Pi}^\dagger \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} \hat{\Pi} = - \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} \]
考虑电偶极子算符在两个状态 \(\psi_{n \ell m}\) 和 \(\psi_{n' \ell' m'}\) 之间的矩阵元
\[ \begin{aligned} \bra{n' \ell' m'} \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} \ket{n \ell m} &= - \bra{n' \ell' m'} \hat{\Pi}^\dagger \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} \underset{(-1)^\ell \ket{n \ell m}}{\underbrace{\hat{\Pi} \ket{n \ell m}}} \\ &= - \bra{n' \ell' m'} (-1)^{\ell'} \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} (-1)^{\ell} \ket{n \ell m} \\ &= (-1)^{\ell' + \ell + 1} \bra{n' \ell' m'} \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} \ket{n \ell m} \end{aligned} \]
可见，当 \(\ell' + \ell\) 为偶数时，\(\bra{n' \ell' m'} \hat{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{e}} \ket{n \ell m} = 0\).
重要
- 同一个粒子的几部分波函数（或多粒子波函数）是相乘的
- \(\hat{\Pi} (\psi_1 \psi_2 \psi_3)\) 总的本征值是相乘的
- 连续变换对应的力学量本征值是相加的
\[ \begin{aligned} \hat{T}(a) \psi_1(r_1) \psi_2(r_2) &= \psi_1(r_1 - a) \psi_2(r_2 - a) \\ &= e^{-\frac{\mathrm{i} a}{\hbar} \hat{p}_1} \psi_1(r_1) \cdot e^{-\frac{\mathrm{i} a}{\hbar} \hat{p}_2} \psi_2(r_2) \\ &= e^{-\frac{\mathrm{i} a}{\hbar} (\hat{p}_1 + \hat{p}_2)} \psi_1(r_1) \psi_2(r_2) \end{aligned} \]
6.5 旋转算符
\[ R_z(\varphi) \psi(r, \theta, \phi) = \psi'(r, \theta, \phi) = \psi(r, \theta, \phi - \varphi) \]
由类似 \eqref{eq:taylor-expand} 式的推导可得
\[ \begin{equation} \label{eq:rot-op-angular-momentum} \tag{6.5.1} \hat{R}_z(\varphi) = \exp \left( -\frac{\mathrm{i} \varphi}{\hbar} \hat{L}_z \right) \end{equation} \]
所以说 \(\hat{L}_z\) 是绕 \(z\) 轴转动的转动生成元。
下面考虑算符 \(\hat{\boldsymbol{r}}\) 和 \(\hat{\boldsymbol{p}}\) 在旋转下的变换。使用 \eqref{eq:rot-op-angular-momentum} 的无穷小形式（\(\varphi \mapsto \delta \ll 1\)）：
\[ \begin{equation} \hat{R}_z(\varphi) \approx 1 - \frac{\mathrm{i} \delta}{\hbar} \hat{L}_z \end{equation} \]
由此可得
角动量的几组对易关系
\[ \begin{aligned} \left[\hat{L}_i, \hat{L}_j \right] &= \mathrm{i} \hbar \epsilon_{ijk} \hat{L}_k \\ \left[\hat{L}_i, \hat{r}_j \right] &= \mathrm{i} \hbar \epsilon_{ijk} \hat{r}_k \\ \left[\hat{L}_i, \hat{p}_j \right] &= \mathrm{i} \hbar \epsilon_{ijk} \hat{p}_k \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \hat{x}' &= \hat{R}^\dagger \hat{x} \hat{R} \approx \left( 1 + \frac{\mathrm{i} \delta}{\hbar} \hat{L}_z \right) \hat{x} \left( 1 - \frac{\mathrm{i} \delta}{\hbar} \hat{L}_z \right) \\ &\approx \hat{x} + \frac{\mathrm{i} \delta}{\hbar} [\hat{L}_z, \hat{x}] = \hat{x} - \delta \hat{y} \end{aligned} \]
6.6 简并
两个不同的态能量相等，称为简并。对称性是简并的根源。
这些不是简并
设对称算符 \([\hat{H}, \hat{Q}] = 0\)，
旋转算符有无穷多简并？
例 6.3
\([\hat{H}, \hat{L}_\pm] = 0\)，故 \(\hat{L}_\pm\) 的本征态具有相同的能量.
\[ \hat{L}_\pm \ket{n \ell m} = \hbar \sqrt{\ell (\ell + 1) - m (m \pm 1)} \ket{n \ell, m \pm 1} \implies (2 \ell + 1)\text{ 简并} \]
习题 6.18
一维自由粒子：\(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}.\) 动量的本征函数 \(f_p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} e^{\frac{\mathrm{i} p x}{\hbar}}.\) 宇称算符作用下，\(\hat{\Pi} f_p(x) = f_{-p}(x).\)
\(e^{\frac{\mathrm{i} p x}{\hbar}}\) 不是 \(\hat{\Pi}\) 的本征态，因为它是奇函数和偶函数的线性组合。
6.7 转动选择定则
6.7.1 标量算符的选择定则
\[ \begin{aligned} \left[\hat{L}_z, \hat{f} \right] &= 0, \\ \left[\hat{L}_\pm, \hat{f} \right] &= 0, \\ \left[\hat{L}^2, \hat{f} \right] &= 0. \\ \end{aligned} \]
6.8 时间平移变换
记 \(\varPsi(x,t)\) 为含时薛定谔方程的解：
\[ \begin{equation} \label{eq:time-dependent-schrodinger} \tag{6.8.1} \hat{H} \varPsi(x,t) = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \varPsi(x,t) \end{equation} \]
定义一个使波函数在时间上向前传播的算符 \(\hat{U}(t)\)，
\[ \begin{equation} \label{eq:time-evolution-op-def} \tag{6.8.2} \hat{U}(t) \varPsi(x,0) = \varPsi(x,t) \end{equation} \]
下面说明 \(\hat{U}(t)\) 可以用哈密顿算符表示。考虑不含时哈密顿量（这样高阶时间导数形式简单很多），对 \eqref{eq:time-evolution-op-def} 式右侧做泰勒展开：
\[ \begin{equation} \hat{U}(t) \varPsi(x,0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \left.\frac{\partial^n}{\partial t^n} \varPsi(x,t) \right|_{t=0} \xlongequal{\eqref{eq:time-dependent-schrodinger}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( -\frac{\mathrm{i} \hat{H}}{\hbar} t \right)^n \varPsi(x,0) \end{equation} \]
因此，不含时的哈密顿量的时间演化算符是
\[ \begin{equation} \label{eq:time-evolution-op} \tag{6.8.3} \hat{U}(t) = \exp \left( -\frac{\mathrm{i} \hat{H}}{\hbar} t \right) \end{equation} \]
哈密顿量是时间平移的生成元（generator of translations in time）。
6.8.1 海森堡绘景
时间平移变换后的算符称为海森堡绘景（Heisenberg picture）（或称海森堡表象）算符。
\[ \begin{equation} \hat{Q}_{\mathrm{H}} (t) = \hat{U}^\dagger (t) \, \hat{Q}_{\mathrm{S}} \, \hat{U} (t) \end{equation} \]
6.8.2 时间平移不变性
若哈密顿量含时，
\[ \varPsi(x, t) = \hat{U}(t, t_0) \varPsi(x, t_0) \]
时间反演算符（习题 6.36）
时间反演算符（time-reversal operator）\(\hat{\varTheta}\)