第七章 定态微扰理论
7.1 非简并微扰理论
7.1.1 一般公式
对某些势场，假设已经得到了其定态薛定谔方程的解：
\[ \begin{equation} \label{eq:unperturbed-Schrödinger} \tag{7.1.1} H^0 \psi_n^0 = E_n^0 \psi_n^0 \end{equation} \]
以及一组正交归一完备集的本征函数 \(\{\psi_n^0\}\). 相当于 0 级微扰。现在，在这个势上加一个微小的扰动，我们希望求出新的本征函数和本征值：
\[ \begin{equation} \label{eq:perturbed-Schrödinger} \tag{7.1.2} H \psi_n = E_n \psi_n \end{equation} \]
其中
\[ \begin{equation} \label{eq:perturbed-H} \tag{7.1.3} H = H^0 + \lambda H' \end{equation} \]
相应的波函数和能量可展开为 \(\lambda\) 的幂级数：
\[ \begin{equation} \label{eq:perturbed-psi} \tag{7.1.4} \psi_n = \psi_n^0 + \lambda \psi_n^1 + \lambda^2 \psi_n^2 + \cdots \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \label{eq:perturbed-E} \tag{7.1.5} E_n = E_n^0 + \lambda E_n^1 + \lambda^2 E_n^2 + \cdots \end{equation} \]
\(E_n^1\) 是第 \(n\) 个本征值的一阶修正（first-order correction），以此类推。将 \eqref{eq:perturbed-H}、\eqref{eq:perturbed-psi} 和 \eqref{eq:perturbed-E} 代入 \eqref{eq:perturbed-Schrödinger}，
\[ (H^0 + \lambda H') (\psi_n^0 + \lambda \psi_n^1 + \lambda^2 \psi_n^2 + \cdots) = (E_n^0 + \lambda E_n^1 + \lambda^2 E_n^2 + \cdots) (\psi_n^0 + \lambda \psi_n^1 + \lambda^2 \psi_n^2 + \cdots) \]
考虑 0 阶到 2 阶项：
\[ H^0 \psi_n^0 + \lambda (H^0 \psi_n^1 + H' \psi_n^0) + \lambda^2 (H^0 \psi_n^2 + H' \psi_n^1) + \cdots = E_n^0 \psi_n^0 + \lambda (E_n^0 \psi_n^1 + E_n^1 \psi_n^0) + \lambda^2 (E_n^0 \psi_n^2 + E_n^1 \psi_n^1 + E_n^2 \psi_n^0) + \cdots \]
- 零阶项（\(\lambda^0\)）：\(H^0 \psi_n^0 = E_n^0 \psi_n^0\)（即 \eqref{eq:unperturbed-Schrödinger} 式）
- 一阶项（\(\lambda^1\)）：
\[ \begin{equation} \label{eq:1st-perturbation} \tag{7.1.6} H^0 \psi_n^1 + H' \psi_n^0 = E_n^0 \psi_n^1 + E_n^1 \psi_n^0 \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \label{eq:2nd-perturbation} \tag{7.1.7} H^0 \psi_n^2 + H' \psi_n^1 = E_n^0 \psi_n^2 + E_n^1 \psi_n^1 + E_n^2 \psi_n^0 \end{equation} \]
之后就不再用到 \(\lambda\) 了，它只是用于标记不同级次的符号。
7.1.2 一阶理论
做 \eqref{eq:1st-perturbation} 和 \(\psi_n^0\) 的内积，
\[ \braket{\psi_n^0 | H^0 \psi_n^1 + H' \psi_n^0} = \braket{\psi_n^0 | E_n^0 \psi_n^1 + E_n^1 \psi_n^0} = E_n^0 \braket{\psi_n^0 | \psi_n^1} + E_n^1 \braket{\psi_n^0 | \psi_n^0} \]
而由于 \(H^0\) 是厄米算符，所以
\[ \braket{\psi_n^0 | H^0 \psi_n^1} = \braket{H^0 \psi_n^0 | \psi_n^1} = E_n^0 \braket{\psi_n^0 | \psi_n^1} \]
所以消去了第一项，得到一阶微扰理论最基本的结论：
\[ \begin{equation} \label{eq:1st-energy-correction} \tag{7.1.8} \boxed{ E_n^1 = \braket{\psi_n^0 | H' | \psi_n^0} } \end{equation} \]
这说明，能量的一阶修正对应于未微扰状态下微扰项的期望值。
例题 7.1 常数微扰
将无限深方势阱整体抬高一个常数 \(V_0\)，计算能量的一阶修正。
\(H' = V_0\)，第 \(n\) 个状态的能量一阶修正为
\[ E_n^1 = \braket{\psi_n^0 | V_0 | \psi_n^0} = V_0 \braket{\psi_n^0 | \psi_n^0} = V_0 \]
这是精确解，因为对于常数微扰（不论原势场是什么形式），高阶修正均为零。
式 \eqref{eq:1st-energy-correction} 是能量的一阶修正，下面求波函数的一阶修正。将 \eqref{eq:1st-perturbation} 式改写为
\[ \begin{equation} \label{eq:1st-perturbation-var} \tag{7.1.9} (H^0 - E_n^0) \psi_n^1 = - (H' - E_n^1) \psi_n^0 \end{equation} \]
右侧是已知的非齐次项，为了求解 \(\psi_n^1\)，将其用完备集 \(\{\psi_m^0\}\) 展开：
\[ \begin{equation} \label{eq:1st-psi-expansion} \tag{7.1.10} \psi_n^1 = \sum_{m \neq n} c_m^{(n)} \psi_m^0 \end{equation} \]
取 \(m \neq n\) 的原因：如果 \(\psi_n^1\) 包含 \(\psi_n^0\) 的项，则 \eqref{eq:1st-perturbation-var} 左边