第一章 信号与系统的基本概念

1.0 信号的概念

信号：表达、传递信息的符号

什么是信息？

“信息就是信息，既非物质，也非能量。”

——维纳（美国数学家、控制论创始人）

“信息是用来消除随机不定性的东西。”

——香农（美国数学家、信息论创始人）

信息可以使不确定性降低。

重点内容一：对信号性质的研究

系统：有输入、有输出。脱离了系统的信号没有意义。

graph LR
    A[设计产生信号] --> B[设计制造系统]
    B --> C[输出新的信号]

信号与系统示例

• 地动仪
  • 输入信号：地震波
  • 系统：地动仪
  • 输出信号：地震方向
• 人脸识别系统
  • 输入信号：人脸图像
  • 系统：人脸检测系统
  • 输出信号：人脸所在矩形区域
  • 系统：人脸识别系统
  • 输出信号：人脸ID
• 语音识别系统（Speech to Text）
  • 输入信号：语音信号
  • 系统：语音识别系统
  • 输出信号：文本
• Text to 3D
• ...

重点内容二：系统的基本知识和方法

1.1 信号与系统的基本概念

1.1.1 信号的描述与分类

信号的定义

• 物理量随着时间、空间等自变量而变化的情况
• 是信息的表征（信息的载体）

信号的分类

基于信号维度

• 一维信号：时间序列信号（音频）
• 二维信号：图像
• 三维信号：视频
• 四维信号：3D游戏

  高斯球 spd-gaussian

本课程只考虑一维信号

基于信号取值类型

• 连续信号 \(x(t)\)：在任何时刻除若干个不连续点以外都有定义的信号。
• 离散信号 \(x[n]\)：仅在一些离散时刻有定义，一般自变量只取整数值。通常也称为序列。

周期信号与非周期信号

• 周期信号：\(x(t) = x(t + T)\) 或 \(x[n] = x[n + N]\). 满足条件的最小正整数 \(N\) 称为基波周期。

奇信号与偶信号

• 奇信号：\(x(t) = -x(-t)\) 或 \(x[n] = -x[-n]\)
• 偶信号：\(x(t) = x(-t)\) 或 \(x[n] = x[-n]\)

  信号总是可以分解为奇分量与偶分量之和

  \[ \begin{aligned} x_{\mathrm{e}}(t) &= \frac{1}{2} [x(t) + x(-t)] \\ x_{\mathrm{o}}(t) &= \frac{1}{2} [x(t) - x(-t)] \\ \end{aligned} \]

  且容易说明这种分解是唯一的。

功率信号与能量信号

一个信号的能量和功率是这样定义的：设 \(x(t)\) 为电压/电流，则它在 \(1 \, \Omega\) 的电阻上的瞬时功率为 \(p(t) = |x(t)|^2\)，在 \(t_1 \leq t \leq t_2\) 内消耗的能量为 \(E_{[t_1, t_2]} = \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 \, \mathrm{d}t\). 无穷大区间内的总能量和平均功率分别为

\[ \begin{aligned} E_\infty &= \lim_{\substack{t_2 - t_1 \to \infty \\ t_1 \to -\infty \\ t_2 \to \infty}} \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 \, \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, \mathrm{d}t \\ P_\infty &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \, \mathrm{d}t \end{aligned} \]

对于离散信号 \(x[n]\)，在 \(n_1 \leq n \leq n_2\) 内的离散时间内，其能量和功率分别为

\[ \begin{aligned} E_{[n_1, n_2]} &= \sum_{n=n_1}^{n_2} \Big|x[n] \Big|^2 \\ P_{[n_1, n_2]} &= \frac{1}{n_2 - n_1 + 1} \sum_{n=n_1}^{n_2} \Big|x[n] \Big|^2 \end{aligned} \]

无穷大区间内的总能量和平均功率分别为

\[ \begin{aligned} E_\infty &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Big|x[n] \Big|^2 \\ P_\infty &= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n=-N}^{N} \Big|x[n] \Big|^2 \end{aligned} \]

1.1.2 系统的表示与分类

1.2 基本的连续时间信号

1.2.1 连续时间复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号：

\[ x(t) = C \mathrm{e}^{s t} \]

一般地，\(C, s \in \mathbb{C}\)，通常设 \(s = \sigma + j \omega_0\)

实指数信号

\(C,s \in \mathbb{R}\)，主要看 \(\sigma\) 符号（特别地，\(\sigma = 0\) 称直流信号）

自然界广泛存在指数衰减的信号

周期复指数信号和正弦信号

\(\sigma = 0\)，\(s = j \omega_0\) 为纯虚数时：\(x(t) = C \mathrm{e}^{j \omega_0 t}\). 若要使该信号为周期信号，

\[ x(t) = x(t + T) \implies \mathrm{e}^{j \omega_0 T} = 1 \implies T_0 = \frac{2\pi}{|\omega_0|} \]

\(T_0\) 称为基波周期。

正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，由欧拉公式可知正弦信号都是由周期复指数信号构成的。

1.2.2 奇异信号

单位阶跃信号

\[ u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \geq 0 \end{cases} \]

单位冲激信号

经过冲激信号的激发后，输出值跃变到单位 1，故

\[ u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) \, \mathrm{d}\tau \implies \delta(t) = \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t} \]

Dirac 定义：

\[ \left \{ \begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, \mathrm{d}t = 1 \\[1ex] & \delta(t) = 0, \quad t \neq 0 \end{aligned} \right. \]

筛选性质：

对于 \(\forall x(t) \in C(0)\)，

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t) \, \mathrm{d}t = x(0) \]

显然 \(x(t) \delta(t)\) 也是一个冲激信号，其面积由上式可知是 \(x(0)\)，因此 \(x(t) \delta(t) = x(0) \delta(t)\).

利用 Lebesgue 积分证明两个函数相等

Lebesgue 积分是泛函分析中的一个重要工具，可以用来证明两个函数在几乎处处相等。若要证 \(x(t) = y(t)\)，只需证

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) z(t) \, \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} y(t) z(t) \, \mathrm{d}t \]

对于 \(\forall z(t) \in C_c(\mathbb{R})\) 即可。

1.2.3 其他连续时间信号

抽样函数

\[ \mathrm{Sa}(t) = \frac{\sin t}{t} \quad \text{or} \quad \mathrm{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \]

性质：

\[ \int_0^{\infty} \mathrm{Sa}(t) \, \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2} \]

高斯函数

也称为钟形脉冲信号

\[ x(t) = E \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{\tau^2}} \]

1.3 基本的离散时间信号

1.3.1 单位冲激序列和单位阶跃序列

单位冲激序列：

\[ \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \]

单位阶跃信号：

\[ u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \geq 0 \end{cases} \]

因此有

\[ u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \]

一般地，

\[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k] \]

1.3.2 离散时间复指数信号与正弦信号

\[ x[n] = C \alpha^n \]

• 实指数序列

• 纯虚指数序列

• 复指数序列周期性要求：\(\omega / 2\pi \in \mathbb{Q}\)

• 复指数序列集：成谐波关系的信号集

\[ \varphi_k[n] = \{\mathrm{e}^{j \frac{2\pi k}{N} n}\}, \quad k = 0, \pm 1, \ldots, \pm (N-1) \]

易知 \(\varphi_{k+N}[n] = \varphi_k[n]\)，因此 \(\{\varphi_k[n]\}\) 是一个周期为 \(N\) 的信号集。

一般复指数序列

\(C = |C| \mathrm{e}^{j \theta}, \, a = |a| \mathrm{e}^{j \omega_0}\)

\[ \begin{aligned} x[n] &= |C||a|^n \mathrm{e}^{j(\theta + \omega_0 n)} \\ &= |C||a|^n \left[ \cos(\theta + \omega_0 n) + j \sin(\theta + \omega_0 n) \right] \end{aligned} \]

1.4 信号的运算与自变量变换

• 平移 \(x(t + t_0)\)
• 反褶 \(x(-t)\)
• 尺度变换 \(x(a t)\)
  • \(|a| > 1\)：压缩
  • \(|a| < 1\)：扩展

    \(\delta(a t) = \frac{1}{|a|} \delta(t)\)

• 抽取：\(x_1[n] = x[Nn], \, N \in \mathbb{Z}^+\)
• 插值：$\(x_2[n] = \begin{cases} x[n/N], & n \text{ 是 } N \text{ 的倍数} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)$

1.5 系统的描述

1.5.2 系统的互联

• 并联
• 反馈结构
• 串联/级联

1.5.3 系统的分类

• 连续/离散
• 线性/非线性
• 时变/时不变
• 记忆/无记忆
• 因果/非因果
• 可逆/不可逆
• 稳定/不稳定

1.6.1 线性和非线性系统

连续时间线性系统的定义：一个系统满足

• 齐次性：对 \(\forall x(t) \xrightarrow{\text{系统}} y(t)\)，有 \(\forall a \in \mathbb{R}, \, a x(t) \xrightarrow{\text{系统}} a y(t)\)
• 可加性：对 \(\forall x_1(t) \xrightarrow{\text{系统}} y_1(t), \, x_2(t) \xrightarrow{\text{系统}} y_2(t)\)，有 \(x_1(t) + x_2(t) \xrightarrow{\text{系统}} y_1(t) + y_2(t)\)

省流：每一项都有 \(x\)，每个 \(x\) 都是一次项

• \(y(t) = 2 x(t) + 3 t x(1 - t) - 5 x(t^2 + 1)\)
• \(y[n] = x[n] - x[n-1]\)

1.6.3 增量线性系统

\(y(t) = x(t) + 1\) 本身不是线性系统，但输入的变化与输出的变化是线性的

例

系统

\[ \frac{d y(t)}{dt} = x(t) \]