第二章线性时不变（LTI）系统的时域分析¶

2.0 引言¶

2.2 离散时间信号的时域分析¶

2.2.1 离散时间信号的单位脉冲分解¶

\[ \begin{equation} \tag{2.2.1} \label{eq:unit_impulse_decomposition} x[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \underset{\text{系数}}{\underbrace{x[k]}} \,\underset{\text{基信号}}{\underbrace{\delta[n - k]}} \end{equation} \]

用单位脉冲表示单位阶跃信号 \(u[n]\)

\[ u[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty} u[k] \delta[n - k] = \sum_{\textcolor{orange}{k = 0}}^{\infty} \delta[n - k] \]

做变量替换 \(n - k = m\)，则

\[ u[n] = \sum_{m = n}^{-\infty} \delta[m] \xlongequal[\text{可交换}]{\text{上下限}} \sum_{m = -\infty}^{n} \delta[m] \]

2.2.2 卷积和单位脉冲响应¶

\[ x[n] \longrightarrow \boxed{\text{LTI 系统}} \longrightarrow y[n] \]

只要搞清楚单位脉冲输入 \(\delta[n]\) 经过系统后的输出 \(h[n]\)，就可以求出任意输入的响应！这个 \(h[n]\) 就称为系统的单位脉冲响应（impulse response）。

根据 LTI 系统的齐次性，有

\[ x[n] \cdot \delta[n - k] \xrightarrow{\text{LTI 系统}} x[k] \cdot h[n - k] \]

再根据 LTI 系统的叠加性，有

\[ \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] \, \delta[n - k] \xrightarrow{\text{LTI 系统}} \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] \, h[n - k] \]

所以

\[ \begin{equation} \tag{2.2.2} \label{eq:convolution_sum} y[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] \, h[n - k] \equiv x[n] \textcolor{orange}{*} h[n] \end{equation} \]

上式定义了卷积和运算：\(*\)

卷积和图示法

反转：\(h[k] \to h[-k]\)
平移：\(h[-k] \to h[n-k]\)
乘积：\(x[k] h[n-k]\)
求和：\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]\)

卷积和列表法

\(k\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(\displaystyle y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]\)
\(x[k]\)	\(\quad\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(\quad\)	\(\quad\)
\(h[-k]\)	\(1\)	\(2\)	\(\quad\)	\(\quad\)	\(\quad\)	\(2\)
\(h[1-k]\)	\(\quad\)	\(1\)	\(2\)	\(\quad\)	\(\quad\)	\(5\)
\(h[2-k]\)	\(\quad\)	\(\quad\)	\(1\)	\(2\)	\(\quad\)	\(8\)
\(h[3-k]\)	\(\quad\)	\(\quad\)	\(\quad\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

输出信号的长度：设 \(x[n]\) 的非零时间范围为 \(n_1 \sim n_1 + N_1 - 1\)，\(h[n]\) 的非零时间范围为 \(n_2 \sim n_2 + N_2 - 1\). 将 \(h[n]\) 反转，右端为 \(-n_2\)，左端为 \(-n_2 - N_2 + 1\). 设 \(-n_2 + m_1 = n_1\) 后恰好出现第一个点重合，\(-n_2 - N_2 + 1 + m_2 = n_1 + N_1 - 1\) 后恰好最后一个点重合，则 \(y[n]\) 的非零时间范围为 \(m_1 \sim m_2\)，即 \(n_1 + n_2 \sim n_1 + N_1 - 1 + n_2 + N_2 - 1\)，长度为 \(N_1 + N_2 - 1\).

单位脉冲响应 \(h[n]\) 可以完全表征一个 LTI 系统，且提供了更一般的系统描述：系统对任意输入信号的响应都是在做卷积和运算。故下面都用 \(h[n]\) 来代指系统。

\[ x[n] \longrightarrow \boxed{h[n]} \longrightarrow y[n] \]

2.2.3 卷积和的性质¶

代数性质¶

交换律：\(x[n] * h[n] = h[n] * x[n]\)

Proof

\[ \begin{aligned} x[n] * h[n] &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] \\ &\xlongequal{m = n-k} \sum_{m=+\infty}^{-\infty} x[n-m] h[m] \\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] x[n-m] = h[n] * x[n] \end{aligned} \]
结合律：\(x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) = (x[n] * h_1[n]) * h_2[n]\)

Proof

\[ \begin{aligned} (x[n] * h_1[n]) * h_2[n] &= \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h_1[n-k]\right) * h_2[n] \\ &= \sum_{l=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h_1[l-k] h_2[n-l] \\ &\xlongequal{\text{交换求和顺序}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \left(\sum_{l=-\infty}^{\infty} h_1[l-k] h_2[n-l] \right) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \left(\sum_{l=-\infty}^{\infty} h_1[\textcolor{orange}{l-k}] h_2[(n-k) - (\textcolor{orange}{l-k})] \right) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] (h_1[n-k] * h_2[n-k]) = x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) \end{aligned} \]
- 级联系统的顺序无关
- 分配律：\(x[n] * (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] * h_1[n] + x[n] * h_2[n]\)

与冲激脉冲序列 \(\delta[n]\) 的卷积¶

由 \eqref{eq:unit_impulse_decomposition} 和 \eqref{eq:convolution_sum} 可知

\[ \begin{equation} \tag{2.2.3} \label{eq:conv_delta} x[n] * \delta[n] = x[n] \end{equation} \]

相当于 \(\delta[n]\) 是一个恒等系统的单位脉冲响应，进啥出啥。由于还是时不变的，容易证明 \(x[n] * \delta[n - n_0] = x[n - n_0]\).

与单位阶跃序列 \(u[n]\) 的卷积和¶

\[ \begin{equation} \tag{2.2.4} \label{eq:conv_step} x[n] * u[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] u[n-k] \xlongequal{n - k \geq 0} \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] \end{equation} \]

单位脉冲响应是 \(u[n]\) 的系统相当于一个加法器！

2.1 连续时间信号的时域分析¶

学完了离散情形，连续的就更好理解。

2.1.1 信号的脉冲分解¶

任一连续信号可用无穷多个单位冲激函数的移位、加权和（即积分）来表示。

\[ x(t) = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k \Delta) \delta(t - k \Delta) \cdot \Delta = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) \, \mathrm{d} \tau \]

2.1.2 卷积积分与单位冲激响应¶

\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) \, \mathrm{d} \tau \xrightarrow{\text{LTI 系统}} \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, \mathrm{d} \tau \]

因此响应为

\[ \begin{equation} \tag{2.1.1} \label{eq:conv_integral} y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, \mathrm{d} \tau \equiv x(t) \textcolor{orange}{*} h(t) \end{equation} \]

例

已知一 LTI 系统的单位冲激响应为

\[ h(t) = \mathrm{e}^{-at} u(t) \]

求系统的输入信号为 \(x(t) = \mathrm{e}^{-b t} u(t), \, (a \neq b)\) 时的输出信号 \(y(t)\).

\[ \begin{aligned} y(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, \mathrm{d} \tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-b \tau} u(\tau) \cdot \mathrm{e}^{-a (t - \tau)} u(t - \tau) \, \mathrm{d} \tau \\ &\xlongequal[非零]{t \geq \tau \geq 0} \int_0^t \mathrm{e}^{-b \tau} \cdot \mathrm{e}^{-a (t - \tau)} \, \mathrm{d} \tau \\ &= \mathrm{e}^{-a t} \int_0^t \mathrm{e}^{(a - b) \tau} \, \mathrm{d} \tau = \frac{\mathrm{e}^{-b t} - \mathrm{e}^{-a t}}{a - b}, \, \textcolor{crimson}{t \geq 0} \\ &= \frac{\mathrm{e}^{-b t} - \mathrm{e}^{-a t}}{a - b} u(t) \end{aligned} \]

2.1.3 卷积积分的图示法¶

反转：\(h(\tau) \to h(-\tau)\)
平移：\(h(-\tau) \to h(t-\tau)\)
相乘：\(x(\tau) h(t-\tau)\)
积分：\(\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) \, \mathrm{d} \tau\)
选取不同的 \(t\) 值，重复 2-4 步骤，得到 \(y(t)\) 的不同取值

\(\delta(t)\) 的性质

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \, \mathrm{d} t = 1\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t - t_0) \, \mathrm{d} t = x(t_0)\)
\(x(t) \delta(t) = x(0) \delta(t)\)
\(\delta(a t) = \frac{1}{|a|} \delta(t)\)
\(\delta(f(t)) = \sum_{t_i} \frac{1}{|f'(t_i)|} \delta(t - t_i)\)，其中 \(t_i\) 是 \(f(t) = 0\) 的根.

下面证明第 5 条。任选测度函数 \(y(t)\)，并令 \(\tau = f(t)\)，则 \(\mathrm{d} \tau = f'(t) \mathrm{d} t\). 对于 LHS：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) \delta(f(t)) \, \mathrm{d} t = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{y(t)}{|f'(t)|} \delta(\tau) \, \mathrm{d} \tau = \sum_{t_i} \frac{y(t_i)}{|f'(t_i)|} \]

有绝对值是因为

对于 RHS：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) \left[ \sum_{t_i} \frac{1}{|f'(t_i)|} \delta(t - t_i) \right] \, \mathrm{d} t = \sum_{t_i} \frac{1}{|f'(t_i)|} \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) \delta(t - t_i) \, \mathrm{d} t = \sum_{t_i} \frac{y(t_i)}{|f'(t_i)|} \]

根据 Lebsegue 定理，LHS = RHS.

卷积的代数性质¶

卷积的求导¶

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} [x(t) * h(t)] = \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} * h(t) = x(t) * \frac{\mathrm{d} h(t)}{\mathrm{d} t} \]

卷积的积分¶

\[ \int_{-\infty}^t [x(\lambda) * h(\lambda)] \, \mathrm{d} \lambda = \left( \int_{-\infty}^t x(\lambda) \, \mathrm{d} \lambda \right) * h(t) \]

证明：

利用 \(x(t) * u(t) = \int_{-\infty}^t x(\lambda) \, \mathrm{d} \lambda\)，

\[ \begin{aligned} \text{LHS} &= [x(\lambda) * h(\lambda)] * u(t) \xlongequal{交换律} [x(\lambda) * u(t)] * h(t) \\ &= \left( \int_{-\infty}^t x(\lambda) \, \mathrm{d} \lambda \right) * h(t) = \text{RHS} \end{aligned} \]

推广：卷积的高阶导数/多重积分

设 \(r(t) = [x_1(t) * x_2(t)]\)，则有

\[ r^{(i)}(t) = x_1^{(i)}(t) * x_2^{(i-j)}(t) \]

其中，当 \(i, j,\, i - j\) 为正整数时，为高阶导数；当 \(i, j, i - j\) 为负整数时，为多重积分。可任意交换阶数！

\[ \begin{aligned} x(t) * \delta^{(k)}(t) &= x^{(k)}(t) * \delta(t) = x^{(k)}(t) \\ x^{(-1)}(t) * \delta(t) &= x(t) * \delta^{(-1)}(t) = x(t) * u(t) \end{aligned} \]

微分器

\[x(t) \xrightarrow{\text{微分器}} \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}\]

而 \(\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} = x^{(1)}(t) * \delta(t) = x(t) * \delta'(t)\)

第二章 线性时不变（LTI）系统的时域分析¶