第三章 频域分析

对于周期函数 \(f(t)\)

\[ f(t) = B_0 + \sum_{k = 1}^\infty [A_k \cos(k \omega_0 t) + B_k \sin(k \omega_0 t)] \]

复指数形式

\[ f(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty a_k \mathrm{e}^{j k \omega_0 t} \]

系数的转换关系

\[ \begin{aligned} a_k &= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \mathrm{e}^{-j k \omega_0 t} \, \mathrm{d} t \\ A_k &= 2 \mathrm{Re}(a_k) = a_k + a_{-k} \\ B_k &= -2 \mathrm{Im}(a_k) = j (a_k - a_{-k}) \end{aligned} \]

1. 绝对可积
2. Dirichlet 收敛条件：在任意周期区间内，\(x(t)\) 的最大值和最小值数目有限

傅里叶变换性质

线性

时移

频移

时域微分

频域微分

时域卷积

时域积分

共轭对称

\(x(t)\)	\(X(j\omega)\)
实偶	实偶
实奇	虚奇
虚偶	虚偶
虚奇	实奇

Remark

一个实信号 \(x(t)\) 的傅里叶变换 \(X(j\omega)\) 的实部来自于 \(x(t)\) 的偶对称部分，虚部来自于 \(x(t)\) 的奇对称部分。

\[ \begin{aligned} x(t) &= \frac{x(t) + x(-t)}{2} + \frac{x(t) - x(-t)}{2} = x_\text{e}(t) + x_\text{o}(t) \\ X(j\omega) &= \mathrm{Re}(X(j\omega)) + j \mathrm{Im}(X(j\omega)) = X_\text{e}(j\omega) + X_\text{o}(j\omega) \end{aligned} \]

例：\(u(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm{sgn}(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\)

Remark

实函数 \(x(t)\) 的傅里叶变换 \(X(j\omega)\) 的幅度谱 \(|X(j\omega)|\) 是偶函数，相位谱 \(\theta(\omega)\) 是奇函数。

尺度变换

\[ x(at) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} \frac{1}{|a|} X\left( \frac{j\omega}{a} \right) \]

• 时域压缩 \(\implies\) 频域扩展（\(|a| > 1\)）
• 时域扩展 \(\implies\) 频域压缩（\(|a| < 1\)）

对偶

若 \(x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} X(j\omega)\)，则

\[ X(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} 2\pi x(-\omega) \]

证明：交换 \(\omega \leftrightarrow t\)

\[ \begin{aligned} X(t) &= \int_{-\infty}^\infty x(\omega) \mathrm{e}^{-j \omega t} \, \mathrm{d} \omega \\ \implies \mathcal{F}[X(t)] &= \int_{-\infty}^\infty X(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \, \mathrm{d} t = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty x(\omega') \mathrm{e}^{-j \omega' t} \, \mathrm{d} \omega' \right) \mathrm{e}^{-j \omega t} \, \mathrm{d} t \\ \end{aligned} \]

调制

\[ x_1(t) x_2(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} \frac{1}{2\pi} X_1(j\omega) * X_2(j\omega) \]

证明：利用对偶性

\[ X_1(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} 2\pi x_1(-\omega), \quad X_2(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} 2\pi x_2(-\omega) \]

得到

\[ X_1(t) * X_2(t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} (2\pi)^2 x_1(-\omega) x_2(-\omega) \]

再次使用对偶性，

\[ 2 \pi x_1(-t) x_2(-t) \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} X_1(-j \omega) * X_2(-j \omega) \]

利用尺度变换 \(a = -1\)，即得原式。

很难传输很尖锐的信号，因为频带带宽有限。

做法：在频域乘上一个矩形脉冲（理想低通滤波器）截断高频，相当于在时域卷积 \(x(t) * \frac{\sin (\omega_c t)}{\pi t}\). 但是 \(\frac{\sin (\omega_c t)}{\pi t}\) 在时域无限延伸，所以实际的低通滤波器在截断处会更平滑。

调制的步骤

1. \(y(t) = x(t) \cos(\omega_c t)\)，其中 \(\omega_c\) 称为载波频率。频域上

   \[ Y(j\omega) = \frac{1}{2} \Big[ X(j(\omega + \omega_c)) + X(j(\omega - \omega_c)) \Big] \]