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数学基础（Pt. I）

基本概念

集合

一堆东西放在一起：\(X = \{a, b, \ldots\}\)

子集：\(A \subset X \iff \forall a \in A, a \in X\)，真子集：\(A \subsetneq X\)

集合 \(X\)，赋予一个结构 \(T\)，称为拓扑，是包含 \(X\) 的开集的集合。

  • 事件（Event）：占据特定时间点、空间点的几何点
    • 没有内在结构，没有大小

      如果考虑量子引力，时空收缩到无限小是不存在的。这里只考虑“经典”理论。

  • 时空（Spacetime）：\(\{\text{事件}\}\)

只有一个集合无法讨论问题，需要引入结构：拓扑

拓扑

一个集合 \(X\)，它的子集 \(T = \{U_\alpha \subset X | \alpha \in A\}\)

⚠ 不是开集，不一定是闭集

开集（open set）满足：

  1. \(X, \varnothing \in T\)
  2. 设 \(U_1, U_2, \ldots, U_n \in T\)，则它们的（有限多）交集 \(\bigcap_{\alpha = 1}^n U_\alpha \in T\)

  3. 设 \(U_\alpha \in T\)，则它们的（可以无限多）并集 \(\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha \in T\)

  4. 通常拓扑（usual topology）在 \(\mathbb{R}\) 上的定义：

    \[ U \in T \iff \forall x \in U, \exists (a,b) \subset U, \text{ s.t. } x \in (a,b) \]

  5. 离散拓扑（discrete topology，最“精致”的拓扑）：\(U \subset X \iff U \in T\)

  6. 凝聚拓扑（indiscrete topology）：\(T = \{X, \varnothing\}\)

\(B = \{V_\alpha \subset X \}\) 是 \(T\) 的一个基（basis），如果

  1. \(\bigcup_{\alpha} V_\alpha = X\)
  2. \(V_\alpha, V_\beta \in B\)，如果 \(x \in V_\alpha \cap V_\beta\)，则存在 \(V_\gamma \in B\)，使得 \(x \in V_\gamma \subset (V_\alpha \cap V_\beta)\)

从 \(B\) 就可以得到拓扑 \(T\)：\(U \in T \iff U = \bigcup_{\alpha} V_\alpha\)

  • \(\mathbb{R}^n\) 上的通常拓扑
\[ U \subset \mathbb{R}^n \iff \forall x \in U, \exists \mathbb{B}(x, r) = \{y \in \mathbb{R}^n | \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 < r^2\} \subset U \]

💡 直观解释：对于任意一个点 \(x\)，都可以找到一个半径为 \(r\) 的球 \(\mathbb{B}(x, r)\)，使得这个点被包裹在一个完全包含在 \(U\) 内的球里

笛卡尔积

\[ X \times Y = \{(x,y) | x \in X, y \in Y\} \]

设 \(T_X, T_Y\) 分别是 \(X, Y\) 的拓扑，则 \(X \times Y\) 的积拓扑（product topology）的基

\[ B = \{U \times V | U \in T_X, V \in T_Y\} \]

通常拓扑和积拓扑是等价的

设通常拓扑的元素 \(U \in T_u\) 和积拓扑的元素 \(V \in T_p\)，则 \(T_u \subset T_p\)（以 \(\mathbb{R}^2\) 为例，对于通常拓扑的圆盘总能找到一个积拓扑的矩形包含它），又有 \(T_p \subset T_u\)（对于积拓扑的矩形总能找到一个通常拓扑的圆盘包含它），所以 \(T_u = T_p\).

对于 \(Y \subset X\)，构造拓扑：

  • 若 \(Y \in T_X\)，则 \(Y\) 的拓扑 \(T_Y = \{U \subset Y | U \in T_X\}\)
  • 若 \(Y \notin T_X\)，则 \(T_Y = \{U \cap Y | U \in T_X\}\)

这称为诱导拓扑（induced topology），\((Y, T_Y)\) 是 \((X, T_X)\) 的一个拓扑子空间（subspace）。

连续映射

考虑映射 \(f: (X, T_X) \to (Y, T_Y)\)，如果对于 \(\forall U \in T_Y\)，有 \(f^{-1}(U) = \{x \in X | f(x) \in U\} \in T_X\)，则称 \(f\) 是连续的（continuous），记作 \(f \in C^0\).

同胚（homeomorphism）是一个双射 \(f: X \to Y\)，使得 \(f\) 和 \(f^{-1}\) 都是连续的。

闭集

闭集（closed set）是指其补集是开集的集合，即 \(X \setminus U \in T\)，记作 \(U \in T^c\)。

  • 闭集 \([a,b] \implies\) 开集 \((-\infty, a) \cup (b, +\infty)\)
  • 既不是开集，也不是闭集： \((a,b]\)
  • 既是开集，也是闭集：\(\varnothing, X\)

设 \(S \subset X\)，

  • 闭包（closure）\(\overline{S}\)：包含 \(S\) 的最小闭集
  • 内核（interior）\(\overset{\circ}{S}\)：包含在 \(S\) 内的最大开集
  • 边界（boundary）\(\partial S = \overline{S} \setminus \overset{\circ}{S}\)

开覆盖（open cover）

\(\{U_\alpha \in T | \alpha \in A\}\)，对 \(\forall x \in X, \exists U_\alpha \text{ s.t. } x \in U_\alpha\)，则称 \(\{U_\alpha\}\) 是 \(X\) 的一个开覆盖。

拓扑流形

若拓扑空间 \((M, T)\) 是一个 \(n\) 维拓扑流形（topological manifold），则

  1. \(M\) 是 Hausdorff 空间：\(\forall p \neq q \in M, \exists U_p, U_q \in T\)，使得 \(p \in U_p, q \in U_q\)，且 \(U_p \cap U_q = \varnothing\) > 这不仅是数学的要求，还有物理的要求。忽略这一点，将会破坏决定论。 > > 排除了凝聚拓扑。

    一个诡异的例子

    实数轴上挖掉 \(0\)，再加上两个 \(0\)

    \[ \Big( \mathbb{R} \setminus \{0\} \Big) \cup 0_A \cup 0_B \]

    定义拓扑

    \[ \begin{aligned} (-\varepsilon, 0) \cup \{0_A\} \cup (0, \varepsilon) &\in T \\ (-\varepsilon, 0) \cup \{0_B\} \cup (0, \varepsilon) &\in T \end{aligned} \]

    则这个空间不满足 Hausdorff 条件。

  2. \(M\) 是局部欧几里得空间（local Euclidean）：\(\forall p \in M, \exists U_p \in T\)，使得 \(p \in U_p\)，且 \(U_p\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 同胚，即 \(\exists \phi: U_p \to V \subset \mathbb{R}^n, V \in T_{\mathbb{R}^n}\) (usual topology)

  3. \(M\) 是第二可数的（second countable）：\(M\) 的拓扑 \(T\) 有一个可数的基 \(B = \{V_\alpha | \alpha \in A\}\)，即 \(\forall U \in T, \exists V_\alpha \in B\)，使得 \(U = \bigcup_{\alpha} V_\alpha\) > 比较数学，绝大部分物理学家都不关心第二可数的要求。但它排除了离散拓扑。

一些奇怪的时空解（比如闭合的时空线），来源于选择了不同的拓扑。物理的因果要求会排除这些解。

8字结：不能映射到 \(\mathbb{R}\)，因为中间的点擦去后分为了四段，而实数轴上擦去一个点后只能分为两段。

同理，两个对顶圆锥也不能映射到 \(\mathbb{R}^2\)，因为圆锥顶点去掉后分为上下两个圆锥面，而 \(\mathbb{R}^2\) 上去掉一个点后只能分为一个连通空间和一个孤立点。

有趣的例子：Orbifold

\(\mathbb{R} / \mathbb{Z}_2\). 是否为一个流形？需要分类讨论。

  • \(n = 2\)，\(\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}_k\) 将平面分成 \(k\) 份，相当于圆锥面，可以压扁，与 \(\mathbb{R}^2\) 同胚，是一个流形。
  • \(n = 3\)，\(\mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}_2\)，考虑原点附近很小的球 \(B((0,0,0), \varepsilon)\)
\[ \mathbb{R}^3 \setminus B((0,0,0), \varepsilon) \cong \mathbb{R} \mathbb{P}^2 \xcancel{\cong} \mathbb{R}^2 \]

微分流形

如果拓扑流形 \(M\)

  1. 开覆盖 \(\{U_\alpha\}\)，映射 \(\phi_\alpha: U_\alpha \to V_\alpha \subset \mathbb{R}^m\)
  2. 对于 \(U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing\)，映射 \(\phi_\alpha \circ \phi_\beta^{-1}: \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \in C^\infty\)

微分同胚（diffeomorphism）是一个双射 \(f: M \to N\)，使得 \(f\) 和 \(f^{-1}\) 都是微分的，即 \(f, f^{-1} \in C^\infty\).

Coordinate transformation (transition function)

4-流形

设拓扑流形 \(M\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 拓扑同胚（\(M \sim \mathbb{R}^n\)）。若 \(n \neq 4\)，则 \(M\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 微分同胚（\(M \cong \mathbb{R}^n\)）。但当 \(n = 4\) 时，存在无数个与 \(\mathbb{R}^4\) 拓扑同胚但不微分同胚的流形！

这个问题至今未解决。

求导