史瓦西度规，水星进动

Schwarzchild metric

\[ d s^2 = - \left( 1 - \frac{2 G M}{r} \right) d t^2 + \left( 1 - \frac{2 G M}{r} \right)^{-1} d r^2 + r^2 d \Omega^2 \]

\(\theta = \frac{\pi}{2}\)，Killing vector

\[ \begin{aligned} K &= \partial_t \implies \left(1 - \frac{2 G M}{r}\right) \frac{d t}{d \lambda} = E \\ K &= \partial_\phi \implies r^2 \frac{d \phi}{d \lambda} = L \end{aligned} \]

由此

\[ g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d \lambda} \frac{d x^\nu}{d \lambda} = - \left( 1 - \frac{2 G M}{r} \right) \left( \frac{d t}{d \lambda} \right)^2 + \left( 1 - \frac{2 G M}{r} \right)^{-1} \left( \frac{d r}{d \lambda} \right)^2 + r^2 \left( \frac{d \phi}{d \lambda} \right)^2 = - \epsilon \, \begin{cases} \epsilon = 1 & \text{massive particle} \\ \epsilon = 0 & \text{massless particle} \end{cases} \]

广义相对论中，无质量的粒子一般称为光子。

对比牛顿力学（我们期待牛顿力学是广义相对论在弱场、慢速极限下的近似），

\[ \begin{equation} \tag{1} \label{eq:motion} \frac{1}{2} \left( \frac{d r}{d \lambda} \right)^2 + V(r) = \frac{1}{2} E^2 \end{equation} \]

其中势能

\[ V(r) = \frac{1}{2} \epsilon - \frac{GM}{r} \epsilon + \frac{L^2}{2 r^2} - \underset{\text{GR correction}}{\underbrace{\textcolor{crimson}{\frac{G M L^2}{r^3}}}} \]

对于有质量的粒子，

\[ V(r) = \frac{1}{2} - \frac{G M}{r} + \frac{L^2}{2 r^2} - \frac{G M L^2}{r^3} \]

在这里的归一化下，动量是无量纲的

求极值点，

\[ \left.\frac{\partial V}{\partial r}\right|_{r=r_c} = 0 \implies r_c = \frac{L^2 \pm \sqrt{L^4 - 12 G^2 M^2 L^2}}{2 G M} \]

1. \(L^2 < 12 G^2 M^2\)，不存在极值点，粒子会不断接近
2. \(L^2 > 12 G^2 M^2\)，存在稳定轨道 \(r_{c_+}\)

对于无质量粒子

\[ \left.\frac{\partial V}{\partial r}\right|_{r=r_c} = 0 \implies r_c = 3 G M \]

是不稳定的。

水星进动

每年水星的近日点会进动 \(43''\)，这个现象无法用牛顿力学解释。

令 \(u = \frac{L^2}{GMr}\)（无量纲），

\[ \frac{d r}{d \lambda} = \frac{L^2}{GM} \frac{d}{d \lambda} (u^{-1}) = - \frac{L^2}{GM} u^{-2} \frac{d u}{d \phi} \frac{d \phi}{d \lambda} \]

利用 \(r^2 \frac{d \phi}{d \lambda} = L\)，上式化为

\[ \frac{d r}{d \lambda} = - \frac{G M}{L} \frac{d u}{d \phi} \]

令 \(\xi = (GM / L)^2\)（无量纲），则 \eqref{eq:motion} 可以写成

\[ \xi \left( \frac{d u}{d \phi} \right)^2 + (1 - 2 \xi u)(\xi u^2 + 1) = E^2 \]

对 \(\phi\) 求导，

\[ 2 \xi \frac{d u}{d \phi} \frac{d^2 u}{d \phi^2} + \left(- 2 \xi \frac{d u}{d \phi} \right)(\xi u^2 + 1) + (1 - 2 \xi u) \cdot 2 \xi u \frac{d u}{d \phi} = 0 \]

整理得到

\[ 2 \xi \frac{d u}{d \phi} \left( \frac{d^2 u}{d \phi^2} + u - 3 \xi u^2 - 1 \right) = 0 \]

\(\frac{d u}{d \phi} \neq 0\)，所以有

\[ \begin{equation} \tag{2} \label{eq:mercury-precession} \frac{d^2 u}{d \phi^2} - 3 \xi u^2 + u - 1 = 0 \end{equation} \]

这是个非线性方程。由于 \(\xi \sim 10^{-8} \ll 1\)，可以使用微扰的方法。设 \(u = u_0 + \xi u_1 + \mathcal{O}(\xi^2)\).

• 零阶解 \(\mathcal{O}(\xi^0)\)

  \[ \begin{equation} \tag{3} \label{eq:mercury-0th} \frac{d^2 (u_0 - 1)}{d \phi^2} + u_0 - 1 = 0 \end{equation} \]

  容易解得

  \[ u_0 = 1 + A_0 \cos \phi + B_0 \sin \phi = 1 + e_0 \cos (\phi - \cancelto{0}{\phi_0}) \]

• 一阶解 \(\mathcal{O}(\xi^1)\)

  \[ \begin{equation} \tag{4} \label{eq:mercury-1st} \frac{d^2 u_1}{d \phi^2} + u_1 = 3 u_0^2 = 3 \big( 1 + e_0 \cos \phi \big)^2 \end{equation} \]

  解得

  \[ u_1 = 3 \left( 1 + \frac{e_0^2}{2} \right) - \frac{e_0^2}{2} \cos 2 \phi + 3 e_0 \phi \sin \phi + A_1 \cos \phi + B_1 \sin \phi \]

\eqref{eq:mercury-0th} \eqref{eq:mercury-1st} 加在一起，

\[ u = C + e \cos (\phi - \cancel{\alpha}) - \frac{\xi e^2}{2} \cos 2 \phi + 3 \xi e \phi \sin \phi + \mathcal{O}(\xi^2), \, e = e_0 + \xi e_1 \]

卫星

狭义相对论的时间膨胀效应会使卫星每天慢 7 μs，广义相对论的引力时间膨胀效应会使卫星每天快 45 μs，综合起来就是快了 38 μs。如果不进行修正的话，每天就会产生 10 公里（乘以光速）的定位误差。