爱因斯坦场方程
爱因斯坦场方程¶
历史发展¶
牛顿：
爱因斯坦：
度规 \(g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}\)，\(h_{00} \to - 2 \phi\)
在历史上，爱因斯坦从协变性出发，
物理学家要有对美的认知
关于自然单位制
\(c\) 是一个运动学参数，\(G\) 是一个动力学参数。运动学参数不会在本质上影响动力学，所以设 \(c = 1\).
很多量子引力的教材会设 \(c = \hbar = G = 1\).
关于宇宙常数
爱因斯坦曾经引入宇宙常数 \(\Lambda\) 来构造一个静态的宇宙模型，但是哈勃望远镜的观测表明宇宙在膨胀，所以 \(\Lambda\) 被认为是一个多余的项，曾被爱因斯坦称为“他一生最大的失误”。
但是现在我们知道，宇宙在加速膨胀，所以 \(\Lambda\) 可能是一个非常重要的项。
从变分原理推导¶
作用量
- \(\Lambda = \text{const.}\)
- \(R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}\)
- \(R_{\mu \nu} R^{\mu \nu}\) ..？
经典引力，大尺度：\(R\) 项占主导
- \(g_{\mu \nu} = [\mathrm{L}^0]\)，例如 \(\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\).
- \(\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \sim \frac{\partial}{\partial x} g = [\mathrm{L}^{-1}]\).
- \(R^\rho_{\mu \sigma \nu} \sim \frac{\partial^2}{\partial x^2} g = [\mathrm{L}^{-2}]\).
这里以 \(R\) 为基准，将后面的高阶项乘以普朗克长度 \(\ell_p\) 以匹配量纲。普朗克长度很小，在宏观尺度下后面的高阶项可忽略。
为什么不在 \(\Lambda\) 前面乘 \(\ell_p^{-2}\)？
这是一个很好的问题：宇宙学常数问题是引力物理学中很大的一个谜题。观测得到 \(\Lambda\) 比 \(\ell_p^{-2}\) 小了 120 个数量级！
在更高维空间中，是可以有更复杂的结构的。但是在四维空间中，高阶项是纯粹的拓扑项，不会对方程的解产生影响。可以证明，爱因斯坦场方程是四维空间中唯一的二阶方程。
\(\mathscr{L} \to R\)，得到 Einstein-Hilbert action：
作变分 \(g^{\mu \nu} \to g^{\mu \nu} + \delta g^{\mu \nu}\)，
-
对于 \(\delta (\sqrt{-g})\) 有关系 \(g = \det g_{\mu \nu}\). 行列式求变分，需要用到 \(\det A = \exp (\mathrm{Tr} \log A)\)1
\[ \begin{aligned} \delta g &= g \, g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} \\ \delta \sqrt{-g} &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{-g}} \delta (-g) = - \frac{1}{2} \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} \end{aligned} \] -
对于 \(\delta R_{\mu \nu}\)
\[ \delta \Gamma^\rho_{\mu \nu} = \frac{1}{2} g^{\rho \sigma} \big( \nabla_\mu \delta g_{\sigma \nu} + \nabla_\nu \delta g_{\sigma \mu} - \nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu} \big) \]而
\[ \delta R_{\mu \nu} = \nabla_\rho \delta \Gamma^\rho_{\mu \nu} - \nabla_\nu \delta \Gamma^\rho_{\mu \nu} \]\(\Gamma^{\rho}_{\mu \nu}(p) = 0, \partial \Gamma (p) \neq 0\)
\[ R^\sigma_{\rho \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\sigma_{\nu \rho} - \partial_\nu \Gamma^\sigma_{\mu \rho} \implies \delta R^\sigma_{\rho \mu \nu} = \nabla_\mu \delta \Gamma^\sigma_{\nu \rho} - \nabla_\nu \delta \Gamma^\sigma_{\mu \rho} \]
现在考虑
变分 \(\delta \mathcal{S} = 0\) 给出爱因斯坦场方程：
对于宇宙常数
含这一项的场方程：
乘以 \(g^{\mu \nu}\) 进行缩并，
回代场方程
真空解¶
真空中没有物质，\(T_{\mu \nu} = 0 \implies T = 0\)，则场方程变为
- \(\Lambda = 0\)：\(d s^2 = - dt^2 + d \vec{x}^2\)，即 Minkowski 空间
-
\(\Lambda > 0\)：de Sitter 空间
\[ d s^2 = - f^2(r) d t^2 + f^{-2}(r) d r^2 + r^2 (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2) \]关于 \(f(r)\) 的导出，
\[ \left \{ \begin{aligned} R_{tt} &= f^3 \left(f'' + \frac{2 f'}{r} + \frac{f'^2}{f} \right) = - f^4 R_{rr} = 0 \\ R_{\theta \theta} &= (1 - f^2 - 2 f f' r) = 0 \\ R_{\phi \phi} &= \sin^2 \theta R_{\theta \theta} = 0 \end{aligned} \right. \implies f(r) = \sqrt{1 - \frac{r^2}{R^2}}, \, R^2 = \frac{3}{\Lambda} \]代入线元得到
\[ d s^2 = - \left( 1 - \frac{r^2}{R^2} \right) d t^2 + \left( 1 - \frac{r^2}{R^2} \right)^{-1} d r^2 + r^2 \underset{d \Omega^2}{\underbrace{(d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2)}} \]宇宙学常数项在各时空点处相同，所以各个时空点的曲率也相同，所以它就像是五维超球的四维超曲面（类比三维球体的二维球面），所以说，de Sitter 空间是最大对称的。
-
\(\Lambda < 0\)：anti-de Sitter 空间（AdS space）
\[ d s^2 = - \left( 1 + \frac{r^2}{R^2} \right) d t^2 + \left( 1 + \frac{r^2}{R^2} \right)^{-1} d r^2 + r^2 d \Omega^2, \, R^2 = - \frac{3}{\Lambda} \]在 \(\mathbb{R}^{1,4}\) 中，AdS 空间是一个双曲面：
\[ d s^2_{\mathbb{R}^{1,4}} = - (d X^0)^2 + \sum_{I = 1}^4 (d X^I)^2 \]且
\[ -(X^0)^2 + \underset{= \underset{r^2}{\underbrace{\sum_{I = 1}^3 (X^I)^2}} + (X^4)^2}{\underbrace{\quad \sum_{I = 1}^4 (X^I)^2 \quad}} = R^2 \iff R^2 - r^2 = -(X^0)^2 + (X^4)^2 \]做代换
\[ \begin{aligned} X^0 &= \sqrt{R^2 - r^2} \sinh \Big( \frac{t}{R} \Big) \\ X^4 &= \sqrt{R^2 - r^2} \cosh \Big( \frac{t}{R} \Big) \end{aligned} \]则
\[ \begin{aligned} d X^0 &= \sqrt{1 - \frac{r^2}{R^2}} \cosh \Big( \frac{t}{R} \Big) d t - \frac{r}{\sqrt{R^2 - r^2}} \sinh \Big( \frac{t}{R} \Big) d r \\ d X^4 &= \sqrt{1 - \frac{r^2}{R^2}} \sinh \Big( \frac{t}{R} \Big) d t + \frac{r}{\sqrt{R^2 - r^2}} \cosh \Big( \frac{t}{R} \Big) d r \end{aligned} \]\(\sum_{I = 1}^3 (d X^I)^2 = dr^2 + r^2 d \Omega_2^2, \; d s^2_{\mathbb{R}^{1,4}} \Big|_{d X^0, \ldots, d X^I} = d s^2_{dS}\) ？啥意思
若令
\[ \begin{aligned} X^0 &= R \sinh \Big( \frac{\tau}{R} \Big) \\ X^I &= R \cosh \Big( \frac{\tau}{R} \Big) y^I, \quad \sum_{I = 1}^4 (y^I)^2 = 1 \end{aligned} \]则
\[ d s^2_{\mathbb{R}^{1,4}} \Big|_{d X^0, \ldots, d X^4} = - d \tau^2 + R^2 \cosh^2 \Big( \frac{\tau}{R} \Big) d \Omega_3^2 \]这里的 \(d \Omega_3^2\) 是三维球面 \(S^3\) 的线元，\(R\) 是 \(S^3\) 的半径。
Penrose Diagram¶
光子的世界线：\(d s^2 = 0\).
上式的 \(\mathrm{e}^{2 \Omega(x)}\) 称为共形变换（Conformal transformation）.
Penrose Diagram 的构造¶
简单起见，考虑无限大的平直时空 \(\mathbb{R}^{1,1}\)：\(d s^2 = - dt^2 + dx^2\)，时间和坐标都是无界的。
-
light-cone coordinate
\[ u = t - x, \quad v = t + x \]则
\[d s^2 = - du dv, \, -\infty < u, v < \infty.\]\(u = u_0\) 或 \(v = v_0\) 是光子世界线。
-
compactify coordinate（紧化坐标）
为了把无穷远拉到有限的地方，引入正切函数进行变换
\[ u = \tan \tilde{u}, \quad v = \tan \tilde{v} \]其中 \(\tilde{u}, \tilde{v} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\). 代入 \(d s^2 = - du dv\) 得到
\[ d s^2 = - \frac{1}{\cos^2 \tilde{u} \cos^2 \tilde{v}} d \tilde{u} d \tilde{v} \]为了画图方便，令 \(d \tilde{s}^2 = \cos^2 \tilde{u} \cos^2 \tilde{v} \, d s^2\)，也就是去掉共形因子，得到
\[ d \tilde{s}^2 = - d \tilde{u} d \tilde{v} \]
Penrose 图的更多细节：
四维 Minkowski 空间的 Penrose Diagram¶
在 \(\mathbb{R}^{3,1}\) 中，
光锥坐标：
线元变为
紧化坐标：
de Sitter 空间的 Penrose Diagram¶
de Sitter 空间的线元：
引入 Conformal time \(\eta\)：
回代得到
de Sitter 空间的彭罗斯图没有类光。宇宙有两个阶段是 de Sitter 阶段：
- 早期宇宙的暴涨阶段
- 未来宇宙的加速膨胀阶段
Anti-de Sitter 空间的 Penrose Diagram¶
AdS\(_4\) 空间的线元：
做变换
线元变为
-
因为 \(A \xrightarrow{\text{diag}} (a_1, \ldots, a_n)\)，有 \(\prod_{i = 1}^n a_i = \exp (\sum_{i = 1}^n \log a_i)\) ↩