数学基础（Pt. III）

张量 \((r, s)\) 在 \(P\) 点

• 切空间 \(T_p M\)
• 余切空间 \(T_p^* M\)

\[ \underset{r}{\underbrace{T_p^* M \otimes \cdots \otimes T_p^* M}} \otimes \underset{s}{\underbrace{T_p M \otimes \cdots \otimes T_p M}} \mapsto \mathbb{R} \]

\[ T_p(d x^{\mu_1}, \ldots, d x^{\mu_r}, \partial_{\nu_1}, \ldots, \partial_{\nu_s}) = \left.T^{\mu_1, \ldots, \mu_r}\right._{\nu_1, \ldots, \nu_s} \]

\[ T_p = \left.T^{\mu_1, \ldots, \mu_r}\right._{\nu_1, \ldots, \nu_s} \, \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}} \otimes d x^{\nu_1} \otimes \cdots \otimes d x^{\nu_s} \]

把张量积推广到弯曲空间中

坐标卡 \(T \in T_p^{(r,s)}(M), S \in T_p^{(k,l)}(M)\)，则 \(T \otimes S \in T_p^{(r+k,s+l)}(M)\)

\[ \left.\left.\left.(T \otimes S)^{\mu_1, \ldots, \mu_r}\right._{\nu_1, \ldots, \nu_s}\right.^{\alpha_1, \ldots, \alpha_k}\right._{\beta_1, \ldots, \beta_l} = \left.T^{\mu_1, \ldots, \mu_r}\right._{\nu_1, \ldots, \nu_s} \, \left.S^{\alpha_1, \ldots, \alpha_k}\right._{\beta_1, \ldots, \beta_l} \]

有 \(T \otimes S \neq S \otimes T\)

有的书把上下标写在一起，写成 \(T^{\mu_1 \ldots \mu_r \alpha_1 \ldots \alpha_k}_{\nu_1 \ldots \nu_s \beta_1 \ldots \beta_l}\)，但分开写在后面的讨论会更清晰

缩并（Contraction）

对 \(T \in T_p^{(r,s)}(M)\)，其中 \(r, s \geq 1\)，则有一个缩并操作 \(C^i_j: T_p^{(r,s)}(M) \to T_p^{(r-1,s-1)}(M)\)，定义为

\[ \left.T^{\mu_1, \ldots, \mu_r}\right._{\nu_1, \ldots, \nu_s} \xrightarrow{C^i_j} \left.T^{\mu_1, \ldots, \mu_{i-1}, \textcolor{orange}{\mu}, \mu_{i+1}, \ldots, \mu_r}\right._{\nu_1, \ldots, \nu_{j-1}, \textcolor{orange}{\mu}, \nu_{j+1}, \ldots, \nu_s} \]

例子：\(T \in T_p^{(1,1)}(M)\)，则 \(\left.T^{\mu}\right._{\nu} \mapsto \left.T^{\mu}\right._{\mu} = \mathrm{Tr}(T)\)

对称化与反对称化

\(T \in T_p^{(0,2)}(M)\)，且 \(T_{\mu \nu} = T_{\nu \mu}\)

\[ \left \{ \begin{aligned} S_{\mu \nu} &= \frac{1}{2} (T_{\mu \nu} + T_{\nu \mu}) \equiv T_{(\mu \nu)} \\ A_{\mu \nu} &= \frac{1}{2} (T_{\mu \nu} - T_{\nu \mu}) \equiv T_{[\mu \nu]} \end{aligned} \right. \]

对于三个指标“夹心”型：\(\frac{1}{2} (T_{\mu \nu \rho} + T_{\rho \nu \mu}) \equiv T_{(\mu |\nu| \rho)}\)

若 \(T_{\mu \nu} = \pm T_{\nu \mu}\)，则 \(T\) 为对称/反对称张量。

Tangent Bundle

没有交集的并操作：\(\sqcup\)

\[ TM = \bigsqcup_{p \in M} T_p M \]

坐标卡 \((x, v)\)

• \(x = (x^1, \ldots, x^n)\)
• \(v = (v^1, \ldots, v^n)\)
• \(v_p = v^\mu \partial_\mu \in T_p M\)

\[ \phi: W \to \phi(U) \subset \mathbb{R}^{\textcolor{crimson}{2n}} \]

Fiber Bundle

描述性的定义：\(E, B, F\) 都为微分流形，分别称为总空间（total space）、基空间（base space）和典型纤维（typical fiber）。

所有的物理场都可以用纤维丛来理解。

标量场 \(f: M \to \mathbb{R}\)

• \(E = M \times \mathbb{R}\)，整个空间都是直积的，得到的是平庸的纤维丛
• \(t_{\alpha \beta}: F \mapsto F\) 恒等

对偶向量

\(v \in T_p M, \omega \in T_p^* M\)，一种很自然的将 \(v\) 和 \(\omega\) 联系起来的方式是内积 \(<v, \omega> \in \mathbb{R}\)

\[ v = v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}, \quad \omega = \omega_\nu d x^\nu, \quad <v, \omega> = v^\mu \omega_\nu \]

Metric tensor field

\((0,2)\) 张量场 \(g|_p: T_p M \times T_p M \to \mathbb{R}\)，满足

1. 对称性：\(g_p(u, v) = g_p(v, u)\)
2. 非退化性：固定\(u\)，有 \(g_p(u, v) = 0, \, \forall v \in T_p M \implies u = 0\)

\[ g_{\mu \nu}(p) = g_p \left(\frac{\partial}{\partial x^\mu}, \frac{\partial}{\partial x^\nu} \right) \]

\[ g_p = g_{\mu \nu}(p) \, d x^\mu \otimes d x^\nu \]

线元

\[ \begin{aligned} ds &= v dt = \sqrt{\|v\|^2} dt \\ &= \Big| g_{\mu \nu} v^\mu v^\nu \Big|^{\frac{1}{2}} dt \\ &= \Big| g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{dt} \frac{d x^\nu}{dt} \Big|^{\frac{1}{2}} dt = \Big| g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu \Big|^{\frac{1}{2}} \end{aligned} \]

所以 \(d s^2 = g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu\)

Sylvester's Law

对于二次型 \(Q = \sum_{i,j = 1}^r a_{ij} x_i x_j\)，存在一个可逆矩阵 \(S\)，使得

\[ S Q S^{-1} = (y^1)^2 + \cdots + (y^p)^2 - (y^{p+1})^2 - \cdots - (y^{p+q})^2 \]

其中 \(p + q = r\).

• 若 \(p = n, q = 0\)，则 \(g\) 是正定的，称为黎曼度规（Riemannian metric）
  • Signature：\((+,+,\ldots,+)\)
  • \((M, g)\) 是一个黎曼流形（Riemannian manifold）
• 若 \(p = n - 1, q = 1\)，则 \(g\) 是 Lorentzian 的，称为洛伦兹度规（Lorentzian metric）
  • Signature：\((-,+,\ldots,+)\)
  • \((M, g)\) 是一个伪黎曼流形（pseudo-Riemannian manifold）

---

物理时间到！！

\[ \text{Spacetime is a pseudo-Riemannian manifold.} \]

狭义相对论：\(M = \mathbb{R}^{1,3}, \, d s^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\)

本征时间（固有时）：与参考系无关

\[ \Delta \tau = \int_\gamma \sqrt{-d s^2} = \int_\gamma \sqrt{dt^2 - dx^2} = \int_\gamma dt \sqrt{1 - v^2} \]

其中 \(\gamma\) 是连接事件 \(A\) 和 \(B\) 的世界线，\(t\) 为坐标时（coordinate time）。并且有

\[ dt = \frac{d \tau}{\sqrt{1 - v^2}} > d \tau \]

Classification of vectors \(v \in T_p M\)

1. 按照 \(g_p(v, v)\) 的符号分类
   • \(g_p(v, v) > 0\)，类空（spacelike）
   • \(g_p(v, v) = 0\)，类光（lightlike），又称为零向量（null vector）
   • \(g_p(v, v) < 0\)，类时（timelike）
2. 按照粒子的质量分类
   • \(m \neq 0\)：类时
   • \(m = 0\)：类光

Poincaré Transformation

\[ \begin{equation} x'^\mu = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu} x^\nu + a^\mu \end{equation} \]

等价于 \(g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\).

线元的变换：\(d s^2 = \eta_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu = \eta_{\rho \sigma} d x'^\rho d x'^\sigma\).

Differential \(p\)-forms

全反对称（totally antisymmetric）\((0, p)\) 张量场 \(\omega\)

• \(0\)-form：标量场
• \(1\)-form：\(\omega \in T^* M\)，\(\bigwedge^1(M) = \mathrm{span} \{dx^1, \ldots, dx^n\}\)
• \(2\)-form：\(d x^\mu \otimes d x^\nu - d x^\nu \otimes d x^\mu \equiv d x^\mu \wedge d x^\nu\)，\(\bigwedge^2(M) = \mathrm{span} \{d x^\mu \wedge d x^\nu | 1 \leq \mu < \nu \leq n\}\)
• 一般情形
  • \(p\)-form：\(\omega = \frac{1}{p!} \omega_{\mu_1 \ldots \mu_p} d x^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge d x^{\mu_p}\)
  • \(q\)-form：\(\eta = \frac{1}{q!} \eta_{\nu_1 \ldots \nu_q} d x^{\nu_1} \wedge \cdots \wedge d x^{\nu_q}\)

  • \((p+q)\)-form：\(\omega \wedge \eta\)

    \[ (\omega \wedge \eta)_{\mu_1 \ldots \mu_p \nu_1 \ldots \nu_q} = \frac{(p+q)!}{p! q!} \omega_{[\mu_1 \ldots \mu_p} \eta_{\nu_1 \ldots \nu_q]} \]
    • 交换律：\((\omega \wedge \eta) = (-1)^{p \cdot q} (\eta \wedge \omega)\)
    • 结合律：\(\omega \wedge (\eta \wedge \xi) = (\omega \wedge \eta) \wedge \xi\)

外微分