采样定理
引入
车轮效应
转得很快的车轮，辐条看起来是倒着转的。原因是车轮的转速超过了采样频率（例如车轮每 \(1/24 \; \mathrm{s}\) 转过 \(350^\circ\)，人眼认为倒着转了 \(10^\circ\)）
Nyquist-Shannon 采样定理
若 \(x(t)\) 是截止频率为 \(\omega_m\) 的带限信号，当采样频率大于 \(2 \omega_m\) 时，则可以从 \(x[n] = x(nT)\) 中无失真地恢复 \(x(t)\).
采样的定义
用冲激串采样来获取连续信号等间隔上的采样值。周期冲激串
\[ p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \]
称为采样函数，其傅里叶变换为
\[ P(j \omega) = \frac{2\pi}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - n \omega_s) \]
其中 \(\omega_s = 2\pi / T\) 是采样频率。
Remarks
关于这个傅里叶变换，因为冲激串 \(\delta_T(t)\) 不满足傅里叶变换的收敛条件，所以要先求傅里叶级数，再通过傅里叶级数计算傅里叶变换。（书本 3.3 节）
\[ \delta_T(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k e^{j k \omega_s t} \]
\(\omega_s = 2\pi / T\) 为 \(p(t)\) 的基波频率。求解系数
\[ a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} p(t) e^{-j k \omega_s t} dt = \frac{1}{T} \]
故
\[ p(t) = \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} e^{j k \omega_s t} \]
利用 \(\mathcal{F}[e^{j k \omega_s t}] = 2\pi \delta(\omega - k \omega_s)\)，得到
\[ P(j \omega) = \frac{2\pi}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - n \omega_s) \]
时域上，连续信号 \(x(t)\) 与采样信号相乘，
\[ x_p(t) = x(t) p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x(nT) \delta(t - nT) \]
频域上卷积，
\[ \begin{aligned} X_p(j \omega) &= \frac{1}{2\pi} X(j \omega) * P(j \omega) \\ &= \frac{1}{2\pi} X(j \omega) * \left( \frac{2\pi}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(\omega - n \omega_s) \right) \\ &= \frac{1}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} X(j (\omega - n \omega_s)) \end{aligned} \]
即采样后的频谱是原频谱的周期延拓。频谱不混叠，要求 \(\omega_m \leq \omega_s - \omega_m\)，即
\[ \begin{equation} \omega_s \geq 2 \omega_m \end{equation} \]
\(2 \omega_m\) 称为 Nyquist 频率。
上面的讨论实质上还是基于连续时间信号 \(x_p(t)\)，而实际上我们获得的信息是离散时间信号 \(x[n] = x(nT)\). 做 DTFT，
\[ \begin{aligned} X(e^{j \omega}) &= \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j \omega n} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x(nT) e^{-j \omega n} \\ &= \frac{1}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} X(j (\frac{\omega}{T} - n \omega_s)) = X_p(j \frac{\omega}{T}) \end{aligned} \]
- 带限内插
- 零阶保持
- 一阶保持
例2
求
\[ x[n] = \frac{\sin \Big( \frac{\pi}{2} (n - \frac{1}{4})\Big)}{n - \frac{1}{4}} \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} X(e^{j \omega}) \]
注意到，时移的不是整数，而是 \(1/4\)！所以先在连续时间域上求傅里叶变换。记
\[ x(t) = \frac{\sin \Big( \frac{\pi}{2} (t - \frac{1}{4})\Big)}{t - \frac{1}{4}} \overset{\mathcal{F}}{\longrightarrow} X(j \omega) \]
容易知道，\(X(j \omega) = \pi \; \mathbb{1}_{[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]}(\omega) \cdot e^{-j \frac{1}{4} \omega}\). 而由
\[ X(e^{j \omega}) = \frac{1}{T} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} X(j (\frac{\omega}{T} - n \omega_s)) \]
即可得到 \(X(e^{j \omega})\) 的表达式。
这个方法可以将 CTFT 与 DTFT 联系起来。