Laplace 变换¶
从傅里叶变换出发，乘上 \(e^{-\sigma t}\) 因子，使得任意信号的变换都存在。由此得到双边 Laplace 变换：
Laplace 变换收敛域性质
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\(X(s)\) 的收敛域是平行于 \(j \omega\) 轴的带状区域
前提：\(x(t)\) 连续，不包含 \(\delta(t)\) 等奇异部分
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收敛域内无极点
- 时限信号的收敛域为整个 \(s\) 平面
- 单边信号的收敛域为半平面
- 右边信号：收敛域在最右极点的右侧（因果信号）
- 左边信号：收敛域在最左极点的左侧
- 双边信号的收敛域为带状区域
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稳定信号的收敛域包含 \(j \omega\) 轴
稳定信号 \(\iff\) 绝对可积 \(\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < +\infty\)，故傅里叶变换存在，\(\sigma = 0\) 包含在收敛域内
常用 Laplace 变换对¶
| \(x(t)\) | \(X(s)\) | 收敛域 |
|---|---|---|
| \(e^{-at}u(t)\) | \(\frac{1}{s + a}\) | \(\mathrm{Re}(s) > -a\) |
| \(-e^{-at}u(-t)\) | \(\frac{1}{s + a}\) | \(\mathrm{Re}(s) < -a\) |
| \(e^{-j \omega t}u(t)\) | \(\frac{1}{s + j \omega}\) | \(\mathrm{Re}(s) > 0\) |
| \(u(t)\) | \(\frac{1}{s}\) | \(\mathrm{Re}(s) > 0\) |
| \(u(-t)\) | \(-\frac{1}{s}\) | \(\mathrm{Re}(s) < 0\) |
| \(\delta(t)\) | \(1\) | 全平面 |
| \(\cos (\omega_0 t) u(t)\) | \(\frac{s}{s^2 + \omega_0^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) > 0\) |
| \(\sin (\omega_0 t) u(t)\) | \(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) > 0\) |
Laplace 变换性质¶
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线性 记 \(x_1(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X_1(s), \, x_2(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X_2(s)\)，收敛域各自为 \(R_1\) 和 \(R_2\)，则
\[ \mathcal{L} \{ a x_1(t) + b x_2(t) \} = a X_1(s) + b X_2(s) \]收敛域至少为 \(R_1 \cap R_2\)（可能极点会被消除，收敛域会扩大） 2. 时移 记 \(x(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X(s)\)，收敛域为 \(R\)，则
ODE 的三种表示
输入信号 \(x(t)\)，输出信号 \(y(t)\)，满足二阶线性常微分方程，可以有三种表示方式。
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公式
\[ a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = b_2 x'' + b_1 x' + b_0 x \]可以引入一个中间变量 \(w(t)\) 来表示 \(x(t)\) 和 \(y(t)\)，使得上式自动成立：
\[ x(t) = a_2 w'' + a_1 w' + a_0 w, \quad y(t) = b_2 w'' + b_1 w' + b_0 w \] -
拉氏变换
\[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_2 s^2 + b_1 s + b_0}{a_2 s^2 + a_1 s + a_0} \] -
系统框图
系统框图表示¶
串联、并联¶
- 串联对应 \(H(s) = \frac{1}{(s - s_1)(s - s_2)} = \frac{1}{s - s_1} \cdot \frac{1}{s - s_2}\)
- 并联对应 \(H(s) = \frac{1}{s - s_1} + \frac{1}{s - s_2}\)
系统的特征函数
记 \(x(t) \xrightarrow{H(s)} y(t)\)，若 \(x(t) = e^{s_0 t}\)，则 \(y(t) = H(s_0) e^{s_0 t}\).
证明：
特例：\(s_0 = 0\)，若 \(0\) 在 \(H(s)\) 的收敛域内，则得到直流信号的响应：