Laplace 变换

从傅里叶变换出发，乘上 \(e^{-\sigma t}\) 因子，使得任意信号的变换都存在。由此得到双边 Laplace 变换：

\[ X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-s t} dt, \quad s = \sigma + j \omega \]

Laplace 变换收敛域性质

1. \(X(s)\) 的收敛域是平行于 \(j \omega\) 轴的带状区域

   前提：\(x(t)\) 连续，不包含 \(\delta(t)\) 等奇异部分

2. 收敛域内无极点

3. 时限信号的收敛域为整个 \(s\) 平面
4. 单边信号的收敛域为半平面
   1. 右边信号：收敛域在最右极点的右侧（因果信号）
   2. 左边信号：收敛域在最左极点的左侧
5. 双边信号的收敛域为带状区域

6. 稳定信号的收敛域包含 \(j \omega\) 轴

   稳定信号 \(\iff\) 绝对可积 \(\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < +\infty\)，故傅里叶变换存在，\(\sigma = 0\) 包含在收敛域内

常用 Laplace 变换对

\(x(t)\)	\(X(s)\)	收敛域
\(e^{-at}u(t)\)	\(\frac{1}{s + a}\)	\(\mathrm{Re}(s) > -a\)
\(-e^{-at}u(-t)\)	\(\frac{1}{s + a}\)	\(\mathrm{Re}(s) < -a\)
\(e^{-j \omega t}u(t)\)	\(\frac{1}{s + j \omega}\)	\(\mathrm{Re}(s) > 0\)
\(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)	\(\mathrm{Re}(s) > 0\)
\(u(-t)\)	\(-\frac{1}{s}\)	\(\mathrm{Re}(s) < 0\)
\(\delta(t)\)	\(1\)	全平面
\(\cos (\omega_0 t) u(t)\)	\(\frac{s}{s^2 + \omega_0^2}\)	\(\mathrm{Re}(s) > 0\)
\(\sin (\omega_0 t) u(t)\)	\(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\)	\(\mathrm{Re}(s) > 0\)

Laplace 变换性质

1. 线性 记 \(x_1(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X_1(s), \, x_2(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X_2(s)\)，收敛域各自为 \(R_1\) 和 \(R_2\)，则

   \[ \mathcal{L} \{ a x_1(t) + b x_2(t) \} = a X_1(s) + b X_2(s) \]

   收敛域至少为 \(R_1 \cap R_2\)（可能极点会被消除，收敛域会扩大） 2. 时移 记 \(x(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} X(s)\)，收敛域为 \(R\)，则