倒格子¶

1 晶格周期性与 Fourier 展开¶

为什么要引入倒（\(k\)）空间

不同表象原则上都能描述同一物理问题，但是有方便不方便之分。一个物理系统既可以在实空间（real space, \(r\)） 描述，也可以在动量空间（reciprocal space, \(k\)） 描述。

核心思想：选择合适表象，使问题简化

在具有平移对称性的系统中，动量 \(k\) 是好量子数，哈密顿量在 \(k\) 表象下是对角化的

实空间
- 数学：布拉菲格子（正格子）
- 实验现象：原子的周期性排列（X 衍射实验）
倒空间
- 数学：倒格子
- 实验现象：X 射线衍射

晶体具有平移对称性，空间中任意一点坐标为 \(\mathbf{r}\)，把晶体移动一个格矢 \(\mathbf{R}_l\)，\(\mathbf{r} + \mathbf{R}_l\) 处的物理环境（各种物理属性）和 \(\mathbf{r}\) 处完全一样：

\[ \begin{equation} \tag{5.1} \label{eq:lattice_periodicity} F(\mathbf{r} + \mathbf{R}_l) = F(\mathbf{r}) \end{equation} \]

其中 \(F\) 是某种物理量。周期函数可以展开为傅里叶级数：

\[ \begin{equation} \tag{5.2} \label{eq:fourier_expansion} F(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{K}} F_{\mathbf{K}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} \end{equation} \]

Fourier 系数：

\[ \begin{equation} \tag{5.3} \label{eq:fourier_coeff} F_{\mathbf{K}} = \frac{1}{\Omega} \int_{\text{unit cell}} d \mathbf{r} \, F(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} \end{equation} \]

做一次晶格平移：

\[ \begin{equation} \tag{5.4} \label{eq:lattice_translation} F(\mathbf{r} + \mathbf{R}_l) = \sum_{\mathbf{K}} F_{\mathbf{K}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{K} \cdot (\mathbf{r} + \mathbf{R}_l)} = \sum_{\mathbf{K}} F_{\mathbf{K}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{K} \cdot \mathbf{R}_l} \end{equation} \]

利用 \eqref{eq:lattice_periodicity}，得到

\[ \begin{equation} \tag{5.5} \label{eq:reciprocal_lattice_condition} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathbf{K} \cdot \mathbf{R}_l} = 1 \implies \mathbf{K} \cdot \mathbf{R}_l = 2 n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} \end{equation} \]

实空间中，格矢 \(\mathbf{R}\) 的端点构成晶格；在倒空间中，\(\mathbf{K}\) 矢量的端点构成什么？

2 倒格子¶

定义：对于 Bravais 格子中任意格矢 \(\mathbf{R}\)，满足条件

\[ \mathbf{K} \cdot \mathbf{R} = 2 n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

的所有 \(\mathbf{K}\) 矢量端点的集合，构成该 Bravais 格子的倒格子（reciprocal lattice）。这些点称为倒格点，\(\mathbf{K}\) 矢量称为倒格矢（reciprocal lattice vector）。

性质：倒格子仍然是一个 Bravais 格子

\[ \mathbf{K} + \mathbf{K}' \in \text{reciprocal lattice} \]

与实空间的关系：

\[ \text{实空间} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \text{倒空间} \]

倒格子基矢¶

实空间格矢

\[ \mathbf{R} = l_1 \mathbf{a}_1 + l_2 \mathbf{a}_2 + l_3 \mathbf{a}_3 \quad (l_1, l_2, l_3 \in \mathbb{Z}) \]

倒格矢的约束条件

\[ \mathbf{K} \cdot \mathbf{R} = 2 n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

第二种推导：

\[ \begin{equation} \tag{5.6} \label{eq:reciprocal_lattice_def} \mathbf{b}_i \cdot \mathbf{a}_j = 2 \pi \delta_{ij} \end{equation} \]

所以有正交关系：

\[ \mathbf{b}_1 \perp \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \iff \mathbf{b}_1 \parallel (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) \]

设 \(\mathbf{b}_1 = \eta (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)\)，代入归一化条件

得到

\[ \eta = \frac{2 \pi}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} = \frac{2 \pi}{\Omega} \]

其中 \(\Omega\) 为实空间原胞体积。

实空间与倒空间的对偶性

\[ \left \{ \begin{aligned} & \mathbf{b}_1 = 2 \pi \frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, \\ & \mathbf{b}_2 = 2 \pi \frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, \\ & \mathbf{b}_3 = 2 \pi \frac{\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} \end{aligned} \right. \iff \left \{ \begin{aligned} & \mathbf{a}_1 = 2 \pi \frac{\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3}{\mathbf{b}_1 \cdot (\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3)}, \\ & \mathbf{a}_2 = 2 \pi \frac{\mathbf{b}_3 \times \mathbf{b}_1}{\mathbf{b}_1 \cdot (\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3)}, \\ & \mathbf{a}_3 = 2 \pi \frac{\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2}{\mathbf{b}_1 \cdot (\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3)} \end{aligned} \right. \]

亦可作为倒格矢的定义。

实空间和倒空间是两个不同的数学空间，但是可以用同一个坐标系来描述它们（也就是可以画在一起）

求二维倒格子

正方形格子 : 实空间基矢：\(\mathbf{a}_1 = a \mathbf{i}, \mathbf{a}_2 = a \mathbf{j}.\)

长方形格子 : 实空间基矢：\(\mathbf{a}_1 = a \mathbf{i}, \mathbf{a}_2 = b \mathbf{j}.\) 由倒格矢定义 \eqref{eq:reciprocal_lattice_def}，得到 \(\mathbf{b}_1 = \frac{2 \pi}{a} \mathbf{i}, \mathbf{b}_2 = \frac{2 \pi}{b} \mathbf{j}.\)

: 长边变短，短边变长。但仍为矩形格子。

二维斜方格子 : 实空间基矢：\(\mathbf{a}_1 = a \mathbf{i}, \mathbf{a}_2 = \frac{\sqrt{2} b}{2} (\mathbf{i} + \mathbf{j})\). 由倒格矢定义 \eqref{eq:reciprocal_lattice_def}，得到

\[ \begin{aligned} \mathbf{b}_1 &= 2 \pi \frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{k}}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{k})} = 2 \pi \frac{\frac{\sqrt{2} b}{2} (\mathbf{i} + \mathbf{j}) \times \mathbf{k}}{\frac{\sqrt{2} a b}{2}} = \frac{2 \pi}{a} (\mathbf{i} - \mathbf{j}) \\ \mathbf{b}_2 &= 2 \pi \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{k} \times \mathbf{a}_1)} = 2 \pi \frac{\mathbf{k} \times a \mathbf{i}}{\frac{\sqrt{2} a b}{2}} = 2 \pi \frac{\sqrt{2}}{b} (\mathbf{i} + \mathbf{j}) \end{aligned} \]

仍为斜方格子。

3 倒格矢与晶面的几何对应关系¶

取一组互质整数 \(h_1, h_2, h_3\)，定义倒格矢 \(\mathbf{K}_h\)

\[ \begin{equation} \mathbf{K}_h = h_1 \mathbf{b}_1 + h_2 \mathbf{b}_2 + h_3 \mathbf{b}_3 \end{equation} \]

这组互质整数 \(h_1, h_2, h_3\) 定义了一个晶面族。是什么样的呢？

倒格矢与对应晶面族垂直¶

下面说明，\(\mathbf{K}_h = h_1 \mathbf{b}_1 + h_2 \mathbf{b}_2 + h_3 \mathbf{b}_3\) 与晶面族 \((h_1, h_2, h_3)\) 垂直。

注意：倒格矢是相对于原胞基矢 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\) 定义的

\((h_1 h_2 h_3)\) 代表晶面在原胞基矢的截距分别为 \(\frac{\mathbf{a}_1}{h_1}, \frac{\mathbf{a}_2}{h_2}, \frac{\mathbf{a}_3}{h_3}\)，

倒格矢长度与对应晶面族间距成反比¶

设晶面 \((h_1 h_2 h_3)\) 的面间距为 \(d\). 最靠近原点的晶面到原点的距离为截距在面法线方向上的投影：

\[ d = \frac{\mathbf{a}_1}{h_1} \cdot \frac{\mathbf{K}_h}{|\mathbf{K}_h|} = \frac{\mathbf{a}_1 \cdot (h_1 \mathbf{b}_1 + h_2 \mathbf{b}_2 + h_3 \mathbf{b}_3)}{h_1 |\mathbf{K}_h|} = \frac{2 \pi}{|\mathbf{K}_h|} \]

故

\[ \begin{equation} |\mathbf{K}_h| = \frac{2 \pi}{d} \end{equation} \]