晶格振动的力学描述
一维单原子链
\[ \begin{equation} \tag{8.1} \label{eq:atom-motion} \ddot{u}_n = \beta (u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n) \end{equation} \]
Born-Karman 周期性边界条件，取平面波形式的特解
\[ \begin{equation} \tag{8.2} \label{eq:plane-wave} u_n = A \mathrm{e}^{\mathrm{i} (q n a - \omega t)} \end{equation} \]
原子的位移在空间上呈周期性分布，所以原子的集体振动可看作一个行进波（格波）。其中 \(q\) 表征空间相位变化速率，为格波的波矢。
格波的波长 \(\lambda = \frac{2 \pi}{q} = (n' - n) a\)，即振动位相相同的最近两个原子之间的距离为一个波长。
色散关系
将平面波解代入动力学方程，得到 \(\omega\) 与 \(q\) 的关系，称为色散关系（dispersion relation）
\[ \begin{equation} \tag{8.3} \label{eq:dispersion} \omega = 2 \sqrt{\frac{\beta}{m}} \left| \sin \frac{q a}{2} \right| \end{equation} \]
当 \(qa\) 增加 \(2\pi\) 的整数倍（即 \(q\) 增加倒格矢 \(2\pi / a\) 的整数倍）时，\(\omega\) 不变。这表明格波频率 \(\omega(q)\) 在波矢空间中的周期为 \(2 \pi / a\).
当 \(q \to -q\)，\(\omega\) 不变，因此可以将波矢 \(q\) 限制在 \(- \frac{\pi}{a} \leq q \leq \frac{\pi}{a}\) 的区间范围内。这正是一维简单晶格的第一布里渊区！
高阶布里渊区的格矢的等价性
高阶布里渊区中的格波可以通过减去倒格矢 \(2\pi / a\) 的整数倍“拉”回第一布里渊区内的格波。
为何称为色散关系
设格波的传播群速度 \(v_g = \frac{d \omega}{d q}\).
考虑 \(q > 0\)，\eqref{eq:dispersion} 式对 \(q\) 求导：
\[ v_g = a \sqrt{\frac{\beta}{m}} \cos \frac{q a}{2} = a \sqrt{\frac{\beta}{m}} \cos \frac{\pi a}{\lambda} \]
不同波长的格波具有不同的传播速度
关于 \(q\) 的取值，在 Born-Karman 周期性边界条件下，\(u_{n+N} = u_n\)，代入 \eqref{eq:plane-wave} 得到
\[ \begin{equation} q = \frac{2 \pi m}{N a}, \, m \in \mathbb{Z} \end{equation} \]
波矢间隔为
\[ \Delta q = \frac{2 \pi}{N a} \]
波矢密度为间隔的倒数 \(Na / 2 \pi\). 第一布里渊区区间长度为 \(2 \pi / a\)，包含 \(N\) 个波矢，即 \(-\frac{N}{2} \leq m < \frac{N}{2}\)
-
当 \(q \to 0\) 时（长波极限）
\[ \omega \approx qa \sqrt{\frac{\beta}{m}} \]
色散关系近似线性，群速度为常数，对应弹性波（声波）的传播特性
\[ u_{n - 1} \approx u_n \approx u_{n + 1} \]
所有原子近似同步振动
-
当 \(q \to \pm \pi / a\) 时（布里渊区边界），对应格波的最大频率（截止频率）
\[ \omega_\max = 2 \sqrt{\frac{\beta}{m}}, \, u_{n + 1} = u_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} q a} = - u_n \]
相同振幅反向
一维双原子链
原胞中包含两个质量不同的原子
简谐近似下的运动方程
\[ \begin{aligned} m \ddot{u}_{2n} &= \beta (u_{2n + 1} + u_{2n - 1} - 2 u_{2n}) \\ M \ddot{u}_{2n + 1} &= \beta (u_{2n + 2} + u_{2n} - 2 u_{2n + 1}) \end{aligned} \]
取平面波形式的试探解
\[ \begin{aligned} u_{2n} &= A \mathrm{e}^{\mathrm{i} (2 n q a - \omega t)} \\ u_{2n + 1} &= B \mathrm{e}^{\mathrm{i} ((2 n + 1) q a - \omega t)} \end{aligned} \]
代入运动方程，得
\[ \begin{aligned} - m \omega^2 A &= 2 \beta \cos (qa) B - 2 \beta A \\ - M \omega^2 B &= 2 \beta \cos (qa) A - 2 \beta B \end{aligned} \]
方程与 \(n\) 无关（因为是周期性 B.C.）。将上式写成关于 \(A, B\) 的方程组：
\[ \begin{aligned} (m \omega^2 - 2 \beta) A + 2 \beta \cos (qa) B &= 0 \\ 2 \beta \cos (qa) A + (M \omega^2 - 2 \beta) B &= 0 \end{aligned} \]
非平凡解的条件：
\[ \begin{vmatrix} m \omega^2 - 2 \beta & 2 \beta \cos (qa) \\ 2 \beta \cos (qa) & M \omega^2 - 2 \beta \end{vmatrix} = 0 \]
展开解得
\[ \begin{equation} \omega_\pm^2 = \beta \frac{m + M}{m M} \left( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4 m M}{(m + M)^2} \sin^2 (qa)} \right) \end{equation} \]
\(\omega_+\) 对应光学支（optical branch），\(\omega_-\) 对应声学支（acoustic branch）。
熟练掌握该推导过程！
由格波解可知，相邻原胞之间的相位差为 \(2 q a\).
再考虑周期性 B.C.，\(u_{2n + 2N} = u_{2n}\)，得到
\[ q = \frac{\pi s}{N a}, \, s \in \mathbb{Z} \]
因此，双原子链的第一布里渊区为 \(- \frac{\pi}{2 a} \leq q \leq \frac{\pi}{2 a}\). 因为原胞的长度为 \(2a\).
第一布里渊区内共有 \(N\) 个允许的 \(q\) 值，每个 \(q\) 对应两个频率 \(\omega_+(q), \omega_-(q)\)，因此总共有 \(2N\) 个格波模式。格波模式数和自由度严格一一对应。
长波极限（\(q \to 0\)）
\(\sin qa \approx qa\)，并对根号项作泰勒展开
\[ \omega_\pm^2 \approx \beta \frac{m + M}{m M} \left[ 1 \pm \left( 1 - \frac{2 m M}{(m + M)^2} q^2 a^2 \right) \right] \]
声学支
\[ \omega_- \approx \sqrt{\frac{2 \beta}{m + M}} q a \]
振幅比
\[ \left(\frac{B}{A}\right)_- \approx \frac{m \omega_-^2 - 2 \beta}{2 \beta \cos (qa)} \to 1 \]
体现出整体的质心运动
光学支
\[ \omega_+ \approx \sqrt{\frac{2 \beta (m + M)}{m M}} \]
振幅比
\[ \left(\frac{B}{A}\right)_+ \approx - \frac{m \omega_+^2 - 2 \beta}{2 \beta \cos (qa)} \to - \frac{m}{M} \]
位移形式
反相振动
在离子晶体中产生宏观的电偶极子
本讲结语
单原子链和双原子链模型的意义不只是求解振动模式，更重要的是给出色散关系，从而可以进一步用于求解体系在任意温度下的总能量和热容。