第四章能带理论¶

参考书籍：《固体物理学》，黄昆

能带理论研究的问题

电子在晶体中是怎样运动的？
导体、半导体、绝缘体

Bloch 定理¶

晶体中的电子：周期势场，单电子近似

波动方程：

\[ \begin{equation} \left[ -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}), \quad V(\vec{r}) = V(\vec{r} + \vec{R}_n) \end{equation} \]

其中

\[ \vec{R}_n = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 \]

为任意晶格矢量，\(a_1, a_2, a_3\) 晶格基矢。

Bloch 定理

可以证明（下文有），晶体中的电子波函数满足

\[ \begin{equation} \tag{1} \label{eq:bloch-thm} \psi(\vec{r} + \vec{R}_n) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_n} \psi(\vec{r}) \end{equation} \]

其中 \(\vec{k}\) 为波矢。由此可得推论：电子具有 Bloch 形式的波函数

\[ \begin{equation} \tag{2} \label{eq:bloch-wavefunction} \psi(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} u(\vec{r}) \end{equation} \]

\(u(\vec{r})\) 具有晶格的周期性：

\[ u(\vec{r} + \vec{R}_n) = u(\vec{r}) \]

这说明，Bloch 波函数 \(\psi(\vec{r})\) 是由周期函数 \(u(\vec{r})\) 调幅的平面波。

证明：

定义平移算符：\(T_\alpha f(\vec{r}) = f(\vec{r} + \vec{a}_\alpha)\)，其中 \(\alpha = 1, 2, 3\)，分别对应三个基矢。平移算符有对易性：

\[ \begin{aligned} T_\alpha T_\beta f(\vec{r}) &= T_\alpha f(\vec{r} + \vec{a}_\beta) = f(\vec{r} + \vec{a}_\alpha + \vec{a}_\beta) \\ T_\beta T_\alpha f(\vec{r}) &= T_\beta f(\vec{r} + \vec{a}_\alpha) = f(\vec{r} + \vec{a}_\beta + \vec{a}_\alpha) \\[1ex] \implies [T_\alpha, T_\beta] &\equiv T_\alpha T_\beta - T_\beta T_\alpha = 0 \end{aligned} \]

推论：平移任意格矢 \(\vec{R}_m = m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2 + m_3 \vec{a}_3\) 是算符 \(T_1\)、\(T_2\)、\(T_3\) 分别操作 \(m_1\)、\(m_2\)、\(m_3\) 次的结果。

下面说明，平移算符 \(T_\alpha\) 与哈密顿量 \(H(\vec{r}) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})\) 对易：

\[ \begin{aligned} T_\alpha H f(\vec{r}) &= T_\alpha \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] f(\vec{r}) \\ &= \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla_{\vec{r} + \vec{a}_\alpha}^2 + V(\vec{r} + \vec{a}_\alpha) \right] f(\vec{r} + \vec{a}_\alpha) \\ &= \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] f(\vec{r} + \vec{a}_\alpha) = H T_\alpha f(\vec{r}) \\[1ex] \implies [T_\alpha, H] &\equiv T_\alpha H - H T_\alpha = 0 \end{aligned} \]

这与系统的平移不变性是等价的：

\[ T_\alpha H T_\alpha^{-1} = H \]

因为 \(T_\alpha\) 与 \(H\) 对易，所以它们有共同的本征函数：

\[ H \psi = E \psi, \quad T_\alpha \psi = \lambda_\alpha \psi \]

选取周期性边界条件，设 \(N_1, N_2, N_3\) 为 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\) 方向上的原胞数（\(N_1 N_2 N_3 = N\) 为晶体总原胞数），则

\[ \psi(\vec{r}) = \psi(\vec{r} + N_\alpha \vec{a}_\alpha) \]

引入平移算符表示，

\[ \psi(\vec{r} + N_\alpha \vec{a}_\alpha) = T_\alpha^{N_\alpha} \psi(\vec{r}) = \lambda_\alpha^{N_\alpha} \psi(\vec{r}) = \psi(\vec{r}) \]

由此得到

\[ \lambda_\alpha^{N_\alpha} = 1 \implies \lambda_\alpha = e^{i 2 \pi \frac{l_\alpha}{N_\alpha}}, \quad l_\alpha = 0, 1, \ldots, N_\alpha - 1 \]

引入波矢

\[ \vec{k} = \frac{l_1}{N_1} \vec{b}_1 + \frac{l_2}{N_2} \vec{b}_2 + \frac{l_3}{N_3} \vec{b}_3, \quad \vec{a}_i \cdot \vec{b}_j = 2 \pi \delta_{ij} \]

这里 \(\vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3\) 就是倒格子基矢。于是本征值 \(\lambda_\alpha = e^{i \vec{k} \cdot \vec{a}_\alpha}\).

\[ \begin{aligned} \psi(\vec{r} + \vec{R}_m) &= T_1^{m_1} T_2^{m_2} T_3^{m_3} \psi(\vec{r}) = \lambda_1^{m_1} \lambda_2^{m_2} \lambda_3^{m_3} \psi(\vec{r}) \\ &= e^{i \vec{k} \cdot (m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2 + m_3 \vec{a}_3)} \psi(\vec{r}) \\ &= e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \psi(\vec{r}) \end{aligned} \]

Bloch 定理得证。

⼀维周期场中电⼦运动的近⾃由电⼦近似¶

模型和微扰计算¶

零级近似：周期势场用平均值 \(\bar{V}\) 代替

\[ \begin{equation} \left(-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + \bar{V} \right) \psi^{(0)} = E^{(0)} \psi^{(0)} \end{equation} \]

波函数的微扰近似¶

简并情形，波函数应取为线性叠加

\[ \psi = a \psi_{k'}^{(0)} + b \psi_{k}^{(0)} \]

哈密顿量

\[ H = \begin{pmatrix} E_k^{(0)} & V_{k k'} \\ V_{k' k} & E_{k'}^{(0)} \end{pmatrix} \]

三维周期场中电子运动的近自由电子近似¶

布里渊区和能带¶

当 \(E_{\vec{k}}^{(0)} = E_{\vec{k} + \vec{G}_n}^{(0)}\) 时，即

\[ |\vec{k}|^2 = |\vec{k} + \vec{G}_n|^2 \quad \text{或} \quad \vec{G}_n \cdot \left( \vec{k} + \frac{1}{2} \vec{G}_n \right) = 0 \]

非简并微扰理论失效，需用简并微扰理论处理。

主要结论

方程 \(\vec{G}_n \cdot \left( \vec{k} + \frac{1}{2} \vec{G}_n \right) = 0\) 对应 \(\vec{k}\) 空间中从原点所作倒格矢 \(\vec{G}_n\) 的垂直平分面
由这些垂直平分面围成的区域为第一（简约）布里渊区，第二布里渊区，第三布里渊区等。
在布里渊区边界上，简并微扰理论给出能级分裂，即带隙。
在 \(\vec{k}\) 空间不同方向，带宽和带隙可能都不一样
能带的标记 \(E_n(\vec{k})\)，波矢 \(\vec{k}\) 在第一布里渊区，\(n\) 为能带序数
反演对称性 \(E(\vec{k}) = E(-\vec{k})\)
- 倒空间周期性 \(E(\vec{k}) = E(\vec{k} + \vec{G}_n)\)
- 倒空间旋转对称性（\(\alpha\)-晶体的点群操作）\(E(\alpha \vec{k}) = E(\vec{k})\)

赝势¶

研究晶体时，主要考虑原子中的价电子，它们形成晶体中的共有电子。也就是将原子看作离子实 + 价电子。这些价电子只感受离子实半径 \(R_c\) 外部的势（也就是不关心电子到离子实里面）。为了节省计算资源（也就是一种近似），电子感受到的离子实势场设为如下的赝势（pseudo-potential）：

\[ V_i(r) = \begin{cases} - \frac{Z e^2}{r}, & r > R_c \\ 0, & r \leq R_c \end{cases} \]

晶体中的共有电子感受到的（来自各个离子实的）总赝势为

\[ \bar{V}(\vec{r}) = \sum_l V_i(\vec{r} - \vec{R}_l) = \sum_l \left(- \frac{Z e^2}{|\vec{r} - \vec{R}_l|} \right) \xlongequal{\mathcal{F}} \sum_{\vec{G}_n} \bar{V}(\vec{G}_n) e^{i \vec{G}_n \cdot \vec{r}} \]

电子的屏蔽作用
- 晶体中的共有电子实际为多电子体系，电子-电子之间存在相互作用。单电子近似（平均场近似）时，需要考虑其他电子对该电子的屏蔽作用。
- 将其他电子看成介质，屏蔽作用可用介电函数 \(\varepsilon(\vec{G}_n)\) 来描述：
  
  \[ \bar{V}(\vec{G}_n) \to \frac{\bar{V}(\vec{G}_n)}{\varepsilon(\vec{G}_n)} \]

紧束缚近似¶

紧束缚（tight-binding）近似：

电子在一个离子实附近时，该离子实的影响占主导，其它离子实势场的作用看成微扰。
晶体由 \(N\) 个离子实组成，在每个离子实处的价电子有相同的能级 \(\varepsilon_i\) 和波函数 \(\varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m)\)，所以要用简并微扰方法。
考虑微扰后，电子的状态是 \(N\) 个简并态的线性组合

\[ \psi(\vec{r}) = \sum_m a_m \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \]

模型与微扰计算¶

格点 \(\vec{R}_m\) 附近，价电子满足波动方程

\[ \begin{equation} \tag{3} \label{eq:val-electron} \left[ -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + V(\vec{r} - \vec{R}_m) \right] \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) = \varepsilon_i \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \end{equation} \]

价电子形成共有电子后，感受到的势场为周期势 \(U(\vec{r})\). 有电子在单电子近似下满足波动方程

\[ \begin{equation} \tag{4} \label{eq:cond-electron} \left[ -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) \end{equation} \]

\eqref{eq:val-electron} 为 \eqref{eq:cond-electron} 的零级近似
\(U(\vec{r}) - V(\vec{r} - \vec{R}_m)\) 看成微扰
简并微扰近似下的波函数写为

\[ \begin{equation} \tag{5} \label{eq:degen-wavefunction} \psi(\vec{r}) = \sum_m a_m \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \end{equation} \]

式 \eqref{eq:degen-wavefunction} 代入 \eqref{eq:cond-electron}，并利用 \eqref{eq:val-electron}，得到

\[ \sum_m a_m \left[ \varepsilon_i + U(\vec{r}) - V(\vec{r} - \vec{R}_m) \right] \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) = E \sum_m a_m \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \]

当

令 \(\vec{\xi} = \vec{r} - \vec{R}_m\)，即 \(\vec{r} = \vec{R}_m + \vec{\xi}, \; U(\vec{r}) = U(\vec{\xi} + \vec{R}_m) = U(\vec{\xi})\)，

\[ \sum_m a_m \int \varphi_i^* (\vec{\xi} - (\vec{R}_n - \vec{R}_m)) \Big[ U(\vec{\xi}) - V(\vec{\xi}) \Big] \varphi_i(\vec{\xi}) \, \mathrm{d} \vec{\xi} = (E - \varepsilon_i) a_n \]

定义

\[ J(\vec{R}_n - \vec{R}_m) = - \int \varphi_i^* (\vec{\xi} - (\vec{R}_n - \vec{R}_m)) \underset{\text{通常}< 0}{\underbrace{\Big[ U(\vec{\xi}) - V(\vec{\xi}) \Big]}} \varphi_i(\vec{\xi}) \, \mathrm{d} \vec{\xi} \]

\(\varepsilon_i\)：格点能（site energy）
\(J(\vec{R}_n - \vec{R}_m) \equiv J_{nm}\)：交叠积分（hopping integral）

\[ \sum_m a_m J_{nm} = (E - \varepsilon_i) a_n \]

结合 Bloch 定理 \eqref{eq:bloch-thm}，

\[ \begin{aligned} \psi(\vec{r}) &= \sum_m a_m \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) = \sum_m a_m \varphi_i(\vec{\xi} - (\vec{R}_m - \vec{R}_n)) \\ \end{aligned} \]

本征值

\[ \begin{aligned} E(\vec{k}) &= \varepsilon_i - \sum_m J_{nm} e^{i \vec{k} \cdot (\vec{R}_m - \vec{R}_n)} \\ &= \varepsilon_i - \sum_s J(\vec{R}_s) e^{- i \vec{k} \cdot \vec{R}_s}, \quad \vec{R}_s = \vec{R}_n - \vec{R}_m \end{aligned} \]

本征函数：各离子实波函数的 Bloch 和：

\[ \begin{aligned} \psi_k(\vec{r}) &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \\ &= e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \left[ \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{- i \vec{k} \cdot (\vec{r} - \vec{R}_m)} \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \right] \\ & \equiv e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} u(\vec{r}) \end{aligned} \]

只考虑最近邻项，

\(\vec{R}_s = 0\)

\[ \quad J_0 \equiv J(\vec{0}) = - \int \Big[ U(\vec{\xi}) - V(\vec{\xi}) \Big] \Big|\varphi_i(\vec{\xi}) \Big|^2 \, \mathrm{d} \vec{\xi} \]
一个间隔

例1：简单立方晶格中由原子 \(s\) 态 \(\varphi_s(\vec{r})\) 形成的能带

对于 SC 晶格，\((0,0,0)\) 有 6 个近邻格点：

\[ \begin{array}{c} (a, 0, 0), & (0, a, 0), & (0, 0, a), \\ (-a, 0, 0), & (0, -a, 0), & (0, 0, -a) \end{array} \]

\(s\) 态波函数 \(\varphi_s(\vec{r})\) 是球对称的，交叠积分 \(J(\vec{R}_s)\) 只与 \(|\vec{R}_s|\) 有关，所以最近邻项 \(J(\vec{R}_s) = J_1\).
\(s\) 态波函数为偶宇称，\(\varphi_s(-\vec{r}) = \varphi_s(\vec{r}) \implies J_1 > 0.\)

\[ E(\vec{k}) = \varepsilon_s - J_0 - 2 J_1 \left[ \cos(k_x a) + \cos(k_y a) + \cos(k_z a) \right] \]

在布里渊区中，

\(\Gamma\) 点：\(\vec{k} = (0, 0, 0), \quad E^{\Gamma} = \varepsilon_s - J_0 - 6 J_1\)（带底）
\(X\) 点：\(\vec{k} = \left( \frac{\pi}{a}, 0, 0 \right), \quad E^X = \varepsilon_s - J_0 - 2 J_1\)
\(M\) 点：\(\vec{k} = \left( \frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}, 0 \right), \quad E^M = \varepsilon_s - J_0 + 2 J_1\)
\(R\) 点：\(\vec{k} = \left( \frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a} \right), \quad E^R = \varepsilon_s - J_0 + 6 J_1\)（带顶）

例2：简单立方晶格中由原子 \(p\) 态形成的能带

三个 \(p\) 轨道：

\[ \varphi_{p_x}(\vec{r}) = x f(r), \quad \varphi_{p_y}(\vec{r}) = y f(r), \quad \varphi_{p_z}(\vec{r}) = z f(r) \]

原子的 \(p\) 态是三重简并的，但三个 \(p\) 轨道各自形成一个能带，其波函数为各自原子轨道的 Bloch 和：

\[ \begin{aligned} \varphi_{\vec{k}}^{p_x} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_n e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_n} \varphi_{p_x}(\vec{r} - \vec{R}_n) \\ \varphi_{\vec{k}}^{p_y} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_n e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_n} \varphi_{p_y}(\vec{r} - \vec{R}_n) \\ \varphi_{\vec{k}}^{p_z} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_n e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_n} \varphi_{p_z}(\vec{r} - \vec{R}_n) \end{aligned} \]

交叠积分

\[ J(\vec{R}_s) = - \int \varphi_i^* (\vec{\xi} - \vec{R}_s) \Big[ U(\vec{\xi}) - V(\vec{\xi}) \Big] \varphi_i(\vec{\xi}) \, \mathrm{d} \vec{\xi} \]

以 \(\varphi_{p_x}\) 为例，六个近邻的交叠积分中，沿 \(x\) 轴（即 \((0,0,0)\) 到 \((\pm a, 0, 0)\)）的交叠积分大，记为 \(J_1\)；其它四个交叠积分较小，但彼此相等，记为 \(J_2\).

\[ E^{p_x}(\vec{k}) = \varepsilon_p - J_0 - 2 J_1 \cos(k_x a) - 2 J_2 [ \cos(k_y a) + \cos(k_z a) ] \]

因为 \(p\) 态是奇宇称的，哑铃状，对于 \(\varphi_{p_x}\)，在 \(x\) 轴方向上靠得近的两瓣哑铃异号，所以 \(J_1 < 0\)；在 \(y,z\) 轴方向同号，所以 \(J_2 > 0\).

原子能级与能带的对应¶

简单情形：一个原子能级对应一个能带对内层电子，能带较窄，往往有这种对应关系。
复杂情形： \(sp^3\) 杂化

\[ \begin{aligned} \psi_{\vec{k}}^s &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_s(\vec{r} - \vec{R}_m) \\ \psi_{\vec{k}}^{p_x} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_{p_x}(\vec{r} - \vec{R}_m) \\ \psi_{\vec{k}}^{p_y} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_{p_y}(\vec{r} - \vec{R}_m) \\ \psi_{\vec{k}}^{p_z} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_{p_z}(\vec{r} - \vec{R}_m) \end{aligned} \]

能带中的电子态取成这四个 Bloch 和的线性组合

Bloch 和与波矢 \(\vec{k}\) 有关，所以下标有 \(\vec{k}\). 但后面又说电子态和波矢 \(k\) 没关系

书上的讲法不太清楚

\[ \varphi_i(\vec{r}) = a_1 \varphi_s(\vec{r}) + a_2 \varphi_{p_x}(\vec{r}) + a_3 \varphi_{p_y}(\vec{r}) + a_4 \varphi_{p_z}(\vec{r}), \quad i = 1, 2, 3, 4 \]

\[ \psi_i(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \]

复式格子

Wannier 函数¶

紧束缚近似中，能带中的电子波函数为原子（离子实）波函数的 Bloch 和：

\[ \psi_k^{(i)}(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \]

假设波函数能严格求解

由波函数 \(\psi_{i, \vec{k}}(\vec{r})\) 的正交性，容易证明

\[ \int W_i^*(\vec{r} - \vec{R}_n) W_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \, \mathrm{d} \vec{r} = \delta_{nm} \]

推论

Bloch 波函数（晶体中电子波函数，即能带中的波函数）的集合 \(\{ \psi_{i, \vec{k}}(\vec{r}) \}\) 与 Wannier 函数的集合 \(\{ W_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \}\)，
- 是两组完备的正交函数系
- 由一个幺正矩阵联系
Wannier 函是格点处的定域化函数（localized function）当原子间距较大时，可近似地用原子（离子实）的波函数代替 Wannier 函数：

\[ \begin{aligned} \psi_{i, \vec{k}}(\vec{r}) &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} W_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \\ \implies \psi_{i, \vec{k}}(\vec{r}) &\approx \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_m e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}_m} \varphi_i(\vec{r} - \vec{R}_m) \end{aligned} \]

能态密度和费米面¶

能态密度

\[ N(E) = \lim_{\Delta E \to 0} \frac{\Delta Z}{\Delta E} \]

其中 \(\Delta Z\) 为能量在 \(E \sim E + \Delta E\) 之间的能态数目。而状态在 \(\vec{k}\) 空间是均匀分布的，密度为 \(\frac{V}{(2\pi)^3}\). 因此

\[ \Delta Z = \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{\text{等能面}} \, \mathrm{d} S \, \mathrm{d} k_\perp \]

其中 \(\mathrm{d} S\) 是等能面上的面积元，\(\mathrm{d} k_\perp\) 是垂直于等能面的波矢间隔。由方向导数

\[ \mathrm{d} k_\perp \, \Big|\nabla_{\vec{k}} E \Big| = \mathrm{d} E \]

上式化为

\[ \Delta Z = \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{\text{等能面}} \frac{\mathrm{d} S}{|\nabla_{\vec{k}} E|} \, \Delta E \]

因此能态密度为（不考虑自旋）

\[ N(E) = \frac{V}{(2\pi)^3} \int_{\text{等能面}} \frac{\mathrm{d} S}{|\nabla_{\vec{k}} E|} \]

考虑自旋的话乘以 2.

例1：自由电子的能态密度

\[ E(\vec{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} \]

3D 情形

等能面为球面，方向导数沿径向

\[ \Big|\nabla_{\vec{k}} E \Big| = \left| \frac{d E}{d k} \right| = \frac{\hbar^2 k}{m} \]

能态密度（考虑自旋，下同）

\[ N(E) = \frac{V}{4 \pi^3} \int_{\text{等能球面}} \frac{d s}{\frac{\hbar^2 k}{m}} = \frac{V}{4 \pi^3} \frac{m}{\hbar^2 k} 4 \pi k^2 \textcolor{crimson}{\propto \sqrt{E}} \]
2D 情形

等能面为圆，方向导数沿径向

\[ \Big|\nabla_{\vec{k}} E \Big| = \left| \frac{d E}{d k} \right| = \frac{\hbar^2 k}{m} \]

能态密度

\[ N(E) = \frac{S}{2 \pi^2} \int_{\text{等能圆}} \frac{d s}{\frac{\hbar^2 k}{m}} = \frac{S}{4 \pi^2} \frac{m}{\hbar^2 k} 2 \pi k \textcolor{crimson}{= \text{const.}} \]
1D 情形

费米面¶

绝缘体和半导体：价带填满，导带为空带
导体：导带被部分填充

第四章 能带理论¶