简正振动、声子

简正：简谐、正交

Motivation

• 目标：求解在特定温度下的晶格振动的总能量和比热
• 一方面，晶格中所有原子的运动是相互耦合的，直接求解极其复杂。希望找到新的描述方式，使复杂的多体振动问题简单化
• 另一方面，一维单原子链模型不能求解出振动总能量，但是给出了色散关系

将振动分解为一系列彼此独立的简正振动模式

一维单原子链模型

晶格振动的总能量 \(E = T + V\). 动能

\[ T = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{2} m \dot{u}_n^2 \]

势能

\[ V = \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{2} \beta (u_n - u_{n - 1})^2 \]

势能表达式采用了周期性边界条件，且以平衡状态为势能零点。

注意到势能中出现了交叉项 \(u_n u_{n-1}\)，表明不同原子的运动相互耦合，变量无法直接分离！

这是因为晶格振动是原子的集体行为。而我们想将振动分解为一组独立的振动模式，消除势能中的交叉项，同时保证动能里不引入交叉项。

• 振动特解：\(u_n = A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(qna - \omega t)}\)
• 色散关系：\(\omega = 2 \sqrt{\frac{\beta}{m}} \left| \sin \frac{qa}{2} \right|\)
• 每个波矢 \(q\) 对应一个振动模式 \(u_{n, q} = A_q \mathrm{e}^{\mathrm{i}[qna - \omega(q) t]}\)

实际晶格振动可表示为所有振动模式的线性叠加

\[ \begin{equation} \begin{aligned} U_n &= \sum_q A_q \mathrm{e}^{\mathrm{i}[qna - \omega(q) t]} \\ &= \frac{1}{\sqrt{N m}} \sum_q \Big(\sqrt{N m} A_q \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega(q) t} \Big) \mathrm{e}^{\mathrm{i} qna} \end{aligned} \end{equation} \]

这个操作相当于做了一次傅里叶变换：

\[ \begin{equation} \begin{aligned} U_n &= \frac{1}{\sqrt{N m}} \sum_q Q(q) \mathrm{e}^{\mathrm{i} qna} \\ Q(q) &= \sqrt{N m} A_q \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega(q) t} \end{aligned} \end{equation} \]

下面将说明 \(Q(q)\) 就是简正坐标

预备公式

1. \(Q(-q) = Q^*(q)\)
2. \(\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathrm{e}^{\mathrm{i} (n - n') q} = \delta_{q, q'}\)