静电场的宏观性质

2026/03/05 8:00

• 绪论（续）
• 静电场的宏观性质

惯性系的观测

均匀带电无限长导线。实验系（A系）观察到只有静电场；若 B 系以某个速度相对于 A 系运动，则 B 系观察到电流，既有电场又有磁场。那么磁场到底存不存在？

\(\implies\) 磁场本身不能单独作为一种物质看待。电磁场要联系起来看，是统一的。

静电场：

\[ \left \{ \begin{align} & \nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1.5} \label{maxwell-divE-static} \\[1ex] & \nabla \times \boldsymbol{E} + \cancel{\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{B}} = \mathbf{0} \tag{1.6} \label{maxwell-curlE-static} \\[1ex] & \nabla \times \boldsymbol{B} - \cancel{\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}} = \mu_0 \boldsymbol{J} \tag{1.7} \label{maxwell-curlB-static} \\[1ex] & \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 \tag{1.8} \label{maxwell-divB-static} \end{align} \right. \]

• \eqref{maxwell-divE-static} 和 \eqref{maxwell-curlE-static} 是静电规律，\eqref{maxwell-curlB-static} 和 \eqref{maxwell-divB-static} 是静磁规律
• 如何在方程中体现上面例子中的问题呢？需要不同的观测者。

坐标变换（伽利略变换）：

\[ \left \{ \begin{aligned} & t_B = t_A \\ & y_B = y_A, \, z_B = z_A \\ & x_B = x_A - vt_A \end{aligned} \right. \]

于是有了微分关系：

\[ \left \{ \begin{aligned} & \partial_{t_A} = \partial_{t_B} - v \partial_{x_B} \\ & \partial_{x_A} = \partial_{x_B}, \, \partial_{y_A} = \partial_{y_B}, \, \partial_{z_A} = \partial_{z_B} \end{aligned} \right. \]

可以发现，对时间的偏导出现了空间的偏导！这意味着，方程 \eqref{maxwell-curlE-static} 在 B 系中就要加上对坐标的偏导了！物理规律在不同的惯性系下不能保持一致！

历史上，因为这个问题，催生出了洛伦兹变换和狭义相对论。

• 静电场/静磁场（3D）
  • 规律：宏观/微观
  • 运动模式 \(\rightarrow\) 线性
    • 等效点源
  • 解法
• 电磁场（4D）
  • 规律：麦克斯韦方程组（电磁感应）
  • 性质
    • 等效原理
    • 能量/动量（在电磁场中的转移，对称性，和物质的运动息息相关）
  • 电磁波 \(\implies\) 辐射
• 物质相互作用
  • 宏观物质
  • 相对论

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对物理规律的认知始于测量。如何测量静电场？试探电荷（“点电荷，很少的电荷，忽略尺寸）

\[ \begin{equation} \tag{1.9} \label{coulomb-force} \vec{F} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q q}{|\vec{x} - \vec{x}'|^2} \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|} \end{equation} \]

式 \eqref{coulomb-force} 的适用范围

试探电荷不一定是静止的，可以是运动的，与测量本身无关。

如果 \(q\) 移动，\(Q\) 不动，上式是成立的；但如果 \(q\) 不动，\(Q\) 在移动，上式是不成立的！

静电场，要求观察对象 \(Q\) 静止。

\(\vec{F} = q \vec{E}(\vec{x}) \implies \vec{E}(\vec{x}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} (\vec{x} - \vec{x}')\)

高斯点源

\[ \vec{E}(\vec{x}) = \sum_i^n \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_i}{|\vec{x} - \vec{x}_i'|^3} (\vec{x} - \vec{x}_i') \]

连续电荷源

1. 线电荷 \(d Q = \lambda(\vec{x}') d \ell\)

\(d \ell\) 是纯粹几何的

\[ \vec{E}(\vec{x}) = \int_C \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda(\vec{x}') d \ell'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} (\vec{x} - \vec{x}') \]

1. 面电荷 \(d Q = \sigma(\vec{x}') d S\)

\[ \vec{E}(\vec{x}) = \int_S \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma(\vec{x}') d S'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} (\vec{x} - \vec{x}') \]

1. 体电荷 \(d Q = \rho(\vec{x}') d V\)

\[ \vec{E}(\vec{x}) = \int_V \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho(\vec{x}') d V'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} (\vec{x} - \vec{x}') \]

1D:

• 直线 \(d \ell = dx\)
• 某个面内的曲线 \(x_2 = f(x_1), d \ell = \sqrt{1 + (f'(x_1))^2} dx_1\)
  • 推广（参数化）：\(\sqrt{\sum_\alpha \big(\frac{d x_\alpha}{d t}\big)^2} dt\)

2D: