静磁场多极展开

2026/04/16 8:00

  • 静磁场多极展开与磁多极子
  • 静电/磁场的统一描述

库伦规范（\(\nabla \cdot \vec{A} = 0\)）下：

\[ \begin{equation} \vec{A}(\vec{x}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{\vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V'}{|\vec{x} - \vec{x}'|} = \frac{\mu_0}{4\pi} \sum_{\ell = 0}^{\infty} \int_V \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \frac{|\vec{x}'|^\ell}{|\vec{x}|^{\ell + 1}} P_\ell(\cos \theta) \end{equation} \]

  • \(\ell = 0\)：

    \[ \vec{A}(\vec{x}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{|\vec{x}|} \boxed{\int_V \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V'} = 0 \]

    下面说明 \(\int_V \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' = 0.\)

    • 第一种角度，假想我们在 \(V\) 内是沿着一圈圈的闭合路径积分的，也就是 \(\sum_L \oint_L I \, \mathrm{d}\vec{l}\)，其中 \(I = \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} S\) 为截面微元上的电流通量。对于每一圈闭合路径，电流通量 \(I\) 都是相同的，因为 \(\nabla \cdot \vec{J} = 0\) 无源。将 \(I\) 提到积分号外面，自然得到结果为零（可以是从矢量首尾相连积一圈回到原点理解，也可以严格地使用 Stokes 定理：\(\int_{\partial S} \mathrm{d}\vec{l} = \int_{\partial S} \delta_{i \textcolor{orange}{j}} \, \mathrm{d} x_{\textcolor{orange}{j}} = \int_S \epsilon_{\textcolor{orange}{j}lm} \partial_l \delta_{im} \, \mathrm{d} S_{\textcolor{orange}{j}}\)，对常数 \(\delta_{im}\) 求导肯定为0）。

    • 第二种角度，使用 Stokes 定理：

    \[ \begin{aligned} \int_V J_i \, \mathrm{d} V' = \int_V J_j \delta_{ji} \, \mathrm{d} V' = \int_V J_j (\partial_j' x_i') \, \mathrm{d}V' &= \int_V \partial_j' (J_j x_i') \, \mathrm{d}V' - \int_V \cancelto{0}{(\partial_j' J_j)} x_i' \, \mathrm{d}V' \\ &\xlongequal{\text{Stokes}} \int_{\partial V} J_j x_i' \, \mathrm{d} S_j' \xlongequal{\vec{J} \cdot \mathrm{d}\vec{S}'\Big|_{\partial V} = 0} 0 \end{aligned} \]

    最后一个等号是因为在边界 \(\partial V\) 上，电流密度 \(\vec{J} = 0\)（对于完全包围已知电流的闭合曲面，没有电流穿出边界）

  • \(\ell = 1\)：

    \[ A_i^{(1)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{x_j}{|\vec{x}|^3} \underset{m_{ji}}{\underbrace{\int_V J_i(\vec{x}') x_j' \, \mathrm{d} V'}} \]

关于二阶张量的分解

第九讲开头提到过，二阶张量 \(T_{ij}\) 总可以分解为对称部分和反对称部分：

\[ T_{ij} = \frac{T_{ij} + T_{ji}}{2} + \frac{T_{ij} - T_{ji}}{2} \]

现在将对称部分进一步分解为无迹部分和迹。\(T\) 的迹为 \(T_{ij} \delta_{ij}\)，要使对称部分无迹，相当于问

\[ \left( \frac{T_{ij} + T_{ji}}{2} - \# \, T_{kk} \delta_{ij} \right) \delta_{ij} = 0 \]

括号内第一项与 \(\delta_{ij}\) 缩并后为 \(T_{kk}\)，第二项为 \(3 \#\)，因此 \(\# = 1/3\).

\[ T_{ij} = \underbrace{\frac{T_{ij} + T_{ji}}{2} - \frac{1}{3} T_{kk} \delta_{ij}}_{\text{对称无迹部分 } T_{ij}^{(s)}} + \underbrace{\frac{1}{3} T_{kk} \delta_{ij}}_{\text{迹 } T_{ij}^{(t)}} + \underbrace{\frac{T_{ij} - T_{ji}}{2}}_{\text{反对称部分 } T_{ij}^{(a)}} \]

\(\frac{1}{3} T_{kk} \delta_{ij}\) 的张量性质完全由 \(\delta_{ij}\) 提供，所以相当于一个标量。前面提到过，电四极矩 \(p_{ij}\) 也是个无迹对称张量：

\[ p_{ij} = \int_V \rho(\vec{x}') \, d^3 \vec{x}' \frac{3 x_i' x_j' - |\vec{x}'|^2 \delta_{ij}}{2} \]

而磁偶极矩 \(m_{ij}\) 是反对称张量，电荷量是标量...这不禁让人好奇，是否存在一个张量能把这些物理对象都囊括进去。

  • \(\ell = 2\)

    \[ A_i^{(2)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{x_j x_k}{|\vec{x}|^5} \underset{\tilde{m}_{jki}}{\underbrace{\int_V J_i(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \underset{P_{jk}^{(2)}(\vec{x}')}{\underbrace{\frac{3 x_j' x_k' - |\vec{x}'|^2 \delta_{jk}}{2}}}}} \]

    关注自由度。注意到 \(\tilde{m}_{jki}\) 的 \(j,k\) 指标由 \(P_{jk}^{(2)}\) 提供，所以这两个指标是对称无迹的，有 5 个自由度；再算上 \(i\) 指标，总共有 \(5 \times 3 = 15\) 个自由度。而多极展开的对称性与勒让德多项式相同，预期磁四极矩也得是 5 个自由度才对。

恒等式

\[ \begin{aligned} \int \Big(J_i x_j' x_k' + J_j x_i' x_k' + J_k x_i' x_j' \Big) \, \mathrm{d} V' &= 0 \\ \int \Big(2 (\vec{J} \cdot \vec{x}') x_i' + J_i |\vec{x}'|^2 \Big) \, \mathrm{d} V' &= 0 \end{aligned} \]

\(m_{jki}^{(t)}\) 对磁场没有贡献

\[ A_i^{(2, t)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{x_j x_k}{|\vec{x}|^5} \frac{1}{2} \int \mathrm{d} V' (\vec{J} \cdot \vec{x}') \partial_i' P_{jk}^{(2)}(\vec{x}') \]

对应的磁感应强度

\[ \begin{aligned} B_i^{(2, t)} &= \epsilon_{ijk} \partial_j A_k^{(2, t)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \epsilon_{ijk} \partial_j \left( \frac{x_l x_m}{|\vec{x}|^5} \right) \int \mathrm{d} V' (\vec{J} \cdot \vec{x}') \partial_k' P_{lm}^{(2)}(\vec{x}') \\ \end{aligned} \]

最终得到

\[ m_{jki} = \frac{3}{2} \int \mathrm{d} V' \bigg( J_i x_j' x_k' + ) \]