静电场的能量、模式分解
2026/03/19 8:00
将电荷 \(q\) 从无穷远处移到离 \(Q\) 距离为 \(\vec{x}\) 的地方，我们都知道增加的电势能为 \(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q q}{|\vec{x}|}\).
能量总是要存储在什么物质中的，这种物质越多能量也越多。能量仅仅存在于电荷 \(q\) 中吗？固定 \(q\)，松开 \(Q\)，\(Q\) 又跑开了，原来的电势能减少。但是 \(q\) 不动，理应没有能量的转移！说明能量存在于别处。
\(n\) 个点电荷 \(Q_a\)（\(a\) 代表位置）之间的电势能为
\[ E = \frac{1}{2} \sum_{a \neq b}^n \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_a Q_b}{|\vec{x}_a - \vec{x}_b|} \]
空间中的连续分布：
\[ \begin{aligned} E &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho(\vec{x}_a) \, \mathrm{d}^3 \vec{x}_a \, \rho(\vec{x}_b) \, \mathrm{d}^3 \vec{x}_b}{|\vec{x}_a - \vec{x}_b|} \\ &= \frac{1}{2} \int \rho(\vec{x}) \, \mathrm{d}^3 \vec{x} \;\phi(\vec{x}) \\ &= \frac{\varepsilon_0}{2} \int (\nabla \cdot \vec{E}) \phi(\vec{x}) \, \mathrm{d}^3 \vec{x} \\ &= \frac{\varepsilon_0}{2} \int \Big(\nabla \cdot (\phi \vec{E}) - \vec{E} \cdot \nabla \phi\Big) \, \mathrm{d}V \\ &= \frac{\varepsilon_0}{2} \cancelto{0}{\int_{\partial V} \phi \vec{E} \cdot d \vec{S}} + \boxed{\frac{\varepsilon_0}{2} \int_V |\vec{E}|^2 \, dV} \end{aligned} \]
现在的问题是，这个能量发散吗？离散的点电荷只要 \(a \neq b\)，就不会发散；对于连续分布的电荷，观察被积式的分子 \((\mathrm{d}^3 \vec{x}_a \mathrm{d}^3 \vec{x}_b)\) 和分母 \((|\vec{x}_a - \vec{x}_b|)\)，发现分子阶次更高
以两个电荷为例，
\[ E = \frac{\varepsilon_0}{2} \int \mathrm{d} V \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left| \frac{Q_1 (\vec{x} - \vec{x}_1)}{|\vec{x} - \vec{x}_1|^3} + \frac{Q_2 (\vec{x} - \vec{x}_2)}{|\vec{x} - \vec{x}_2|^3} \right|^2 \]
静电问题：给定区域内部的电荷分布 \(\rho(\vec{x})\) 和边界条件，结合电场规律（\(\nabla \times \vec{E} = 0, \,\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)）求解 \(\vec{E}(\vec{x})\). 引入电势 \(\phi(\vec{x})\)，满足 \(\vec{E} = - \nabla \phi(\vec{x})\)，则 \(\nabla \cdot (\nabla \phi) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)，即泊松方程。拉普拉斯算子 \(\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla\).
考虑一维问题
\[ \mathrm{d}_t^2 \phi(t) = - \frac{\rho(t)}{\varepsilon_0} \]
边界条件为 \(\phi(t_0) = \phi_0, \, \phi'(t_0) = V_0\)，则可能的一个解为
\[ \phi(t) = \underset{\tilde{\phi}}{\underbrace{\int_{t_0}^t dt' \int_{t_0}^{t'} \left(- \frac{\rho(t'')}{\varepsilon_0} \, dt'' \right)}} + \underset{\tilde{\tilde{\phi}}}{\underbrace{\phi_0 + V_0 (t - t_0)}} \]
这里将 \(\phi\) 分解为两部分：\(\tilde{\phi}\) 是特解，\(\tilde{\tilde{\phi}}\) 是通解。特解 \(\tilde{\phi}\) 不需要满足边界条件，只关心源项对电势分布造成的影响，之后将会使用格林函数讨论；通解 \(\tilde{\tilde{\phi}}\) 只关心真空中允许的独立解，往往和算子的本征函数有关，这称为模式分解。有趣的是，模式的研究和电磁波有所关联，而特解的研究和电磁辐射有关。
直角坐标系下，\(\nabla^2 \phi = \sum_{i=1}^3 \partial_i^2 \phi = 0\). 分离变量：
\[ \phi(\vec{x}) = U(x_1) V(x_2) W(x_3) \]
代入方程，得到
\[ \frac{1}{U} \frac{d^2 U}{d x_1^2} + \frac{1}{V} \frac{d^2 V}{d x_2^2} + \frac{1}{W} \frac{d^2 W}{d x_3^2} = 0 \]
分别等于常数 \(c_1, c_2, c_3\)，则
\[ \left \{ \begin{aligned} & \mathrm{d}_1^2 U - c_1 U = 0 \\ & \mathrm{d}_2^2 V - c_2 V = 0 \\ & \mathrm{d}_3^2 W - c_3 W = 0 \\ & c_1 + c_2 + c_3 = 0 \end{aligned} \right. \]
按 \(c_1\) 的符号分情况讨论：
- \(c_1 = 0\), 本征函数为 \(1, x_1\)
- \(c_1 > 0\), 本征函数为 \(\mathrm{e}^{\kappa_1 x_1}, \mathrm{e}^{-\kappa_1 x_1}\), 其中 \(\kappa_1^2 = c_1\)
- \(c_1 < 0\), 本征函数为 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \kappa_1 x_1}, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \kappa_1 x_1}\), 其中 \(\kappa_1^2 = -c_1\) 注意到 \(\partial_{x_1} f = \# f\)