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电磁场的能/动量及其守恒定律

2026/05/19 10:00

  • 电磁场的能/动量及其守恒定律
    • 静电场能量 \(\mathcal{E} = \frac{\epsilon_0}{2} |\vec{E}|^2\)
    • 守恒定律方程的结构 \(\partial_\mu T^{\mu \cdots} = 0^{\cdots}\)
  • 电磁势及其运动方程

考察物理问题时，我们通常会划定一个区域

graph LR
    A[区域外对象] <-->|“能流”，通量| B[区域内对象]
    B <-->|功、冲量| C[其它物质<br>（认为是区域内）]

我们之前讨论的电荷守恒，只关心前两者之间的交互。在讨论电磁场的能量和动量时，我们需要同时考虑三者之间的（两种）交互。

能量

已知静电系统中，电磁张量退化为

\[ \|F_{\mu \nu}\| = \frac{1}{c} \begin{pmatrix} 0 & -E^1 & -E^2 & -E^3 \\ E^1 & 0 & 0 & 0 \\ E^2 & 0 & 0 & 0 \\ E^3 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

则

\[ \|F^{\mu \rho} F_{\rho \nu}\| = \frac{1}{c^2} \begin{pmatrix} \textcolor{orange}{|\vec{E}|^2} & 0_j \\ 0_i & E^i E^j \\ \end{pmatrix} \]

进而

\[ F^{\mu \nu} F_{\nu \mu} = \frac{2}{c^2} \textcolor{orange}{|\vec{E}|^2} \]

可以发现 \(F^{0 \rho} F_{\rho 0}\) 和 \(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\) 都正比于 \(|\vec{E}|^2\)，因此我们预期一般情况下的能量密度 \(\mathcal{E}\) 是两者的线性组合。在真空中，\(I^{\mu} = 0\)，考虑

\[ \begin{aligned} \partial_\mu (F^{\mu \nu} F_{\nu \rho}) &= \cancelto{0}{\underset{-I^\nu}{\textcolor{orange}{\underbrace{(\partial_\mu F^{\mu \nu})}}} F_{\nu \rho}} + F^{\mu \nu} (\partial_\mu F_{\nu \rho}) \\ &\xlongequal{反对称} \frac{1}{2} F^{\mu \nu} (\partial_\mu F_{\nu \rho} + \partial_\nu F_{\rho \mu}) \xlongequal{\text{Bianchi}} - \frac{1}{2} F^{\mu \nu} \partial_\rho F_{\mu \nu} \\ &= -\frac{1}{2} g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} F_{\alpha \beta} \partial_\rho F_{\mu \nu} = -\frac{1}{2} F_{\alpha \beta} \partial_\rho F^{\alpha \beta} \implies F^{\alpha \beta} \partial_\rho F_{\alpha \beta} = (\partial_\rho F^{\alpha \beta}) F_{\alpha \beta} \\ &= - \frac{1}{4} \partial_\rho (F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta}) \end{aligned} \]

期望得到 \(\partial_\mu T^{\mu \cdots} = 0^{\cdots}\) 的守恒定律形式，所以引入 \(\delta^{\mu}_\rho\)，移项得到

\[ \partial_\mu \Big(F^{\mu \nu} F_{\nu \rho} + \frac{1}{4} \delta^{\mu}_\rho F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta}\Big) = 0_\rho \]

上式括号里的量纲是 \([\mathrm{B}]^2\)，为了改造成能量密度，除以常数 \(\mu_0\)，得到

\[ \left.T^\mu\right._\nu = \frac{1}{\mu_0} \Big(F^{\mu \rho} F_{\rho \nu} + \frac{1}{4} \delta^{\mu}_\nu F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta}\Big) \]

此即为电磁场的能量动量应力张量，或简称应力张量（stress tensor）。