有限区域里的格林函数

2026/04/07 10:00

镜像法/有限区域里的格林函数

电流

静磁场的基本规律

格林第二恒等式

\[ \begin{equation} \label{eq:green-identity-II} \int_V (u \nabla'^2 v - v \nabla'^2 u) \, \mathrm{d} V' = \int_{\partial V} (u \nabla' v - v \nabla' u) \cdot \mathrm{d} \vec{S}' \end{equation} \]

代入 \(u(\vec{x}') = \phi(\vec{x}'), \, v(\vec{x}') = G(\vec{x}, \vec{x}'), \, \nabla'^2 G(\vec{x}, \vec{x}') + \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{x}') = 0\)，得到

\[ \begin{equation} \label{eq:potential-green} \phi(\vec{x}') = \int_V \frac{\rho(\vec{x}') \, \mathrm{d} V'}{\varepsilon_0} G(\vec{x}, \vec{x}') - \int_{\partial V} \phi(\vec{x}') \nabla' G(\vec{x}, \vec{x}') \cdot \mathrm{d} \vec{S}' - \int_{\partial V} G(\vec{x}, \vec{x}') \vec{E}(\vec{x}') \cdot \mathrm{d} \vec{S}' \end{equation} \]

这在形式上得到了一个关于电势的恒等式，但是如果用它计算电势的，会有一些困难：

\(G(\vec{x}, \vec{x}')\) 的具体形式还未知，只知道满足泊松方程
第二项的 \(\phi(\vec{x}')\) 需要给出 Dirichlet 边界条件
第三项的 \(\vec{E}(\vec{x}')\) 需要给出 Neumann 边界条件
这两种边界条件不能随便给出，需要满足某些兼容条件

为了解决这些问题，我们指定 \(G(\vec{x}, \vec{x}')\) 满足一些边界条件以消去第二项或第三项：

\(G(\vec{x}, \vec{x}') \Big|_{\vec{x}' \in \partial V} = 0\)，这样第三项为 0，

\[ \begin{equation} \label{eq:potential-green-dirichlet} \phi(\vec{x}') = \int_V \frac{\rho(\vec{x}') \, \mathrm{d} V'}{\varepsilon_0} G(\vec{x}, \vec{x}') - \int_{\partial V} \phi(\vec{x}') \nabla' G(\vec{x}, \vec{x}') \cdot \mathrm{d} \vec{S}' \end{equation} \]
\((\nabla' G(\vec{x}, \vec{x}'))_\perp \Big|_{\vec{x}' \in \partial V} = 0\)，这样第二项为 0，

\[ \begin{equation} \label{eq:potential-green-neumann} \phi(\vec{x}') = \int_V \frac{\rho(\vec{x}') \, \mathrm{d} V'}{\varepsilon_0} G(\vec{x}, \vec{x}') - \int_{\partial V} G(\vec{x}, \vec{x}') \vec{E}(\vec{x}') \cdot \mathrm{d} \vec{S}' \end{equation} \]

现在需要把 \(G(\vec{x}, \vec{x}')\) 的具体形式定下来。对于一个边值问题，有三种信息：

几何信息
- 形状
- Dirichlet 型/Neumann 型边界条件
物理信息
- 电荷分布 \(\rho(\vec{x})\)
- \(\partial V\) 上的电场信息（\(\phi / E_\perp\)）

而等势面作为边界条件是非常重要的。先看几个简单的镜像法例子。

零势能面为 \(z = 0\) 平面

\(\vec{a} = (0, 0, -a)\) 处有一点电荷 \(Q\)，则镜像电荷 \(Q_M = -Q, \, \vec{a}_M = (0, 0, a)\)

\[ \phi(\vec{x}) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \left( \frac{1}{4 \pi} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|} - \frac{1}{4 \pi} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}_M|} \right) \]

把 \(Q/\varepsilon_0\) 提出来是为了与 \eqref{eq:potential-green-dirichlet} 中对比。由于边界为零势能面，第二项为零；第一项的 \(\rho(\vec{x}') = Q \delta^{(3)}(\vec{x}' - \vec{a}')\)，所以可以得到此问题的格林函数

\[ \begin{equation} \label{eq:green-func-dirichlet} G(\vec{x}, \vec{x}') = \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|} - \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'_M|} \right) \end{equation} \]

其中 \(\vec{x}'_M = (x', y', -z')\) 是 \(\vec{x}'\) 关于 \(z = 0\) 平面的镜像点。

零电场面为球面

零势能球面 \(r = R\) 之外在 \(\vec{r} = (0, 0, r)\) 处有一个点电荷 \(Q\)，则镜像电荷 \(Q_M = -\frac{R}{r} Q, \, \vec{r}_M = (0, 0, R^2 / r)\)

\[ \begin{equation} \label{eq:green-func-neumann} G(\vec{x}, \vec{x}') = \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|} - \frac{R}{r'} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'_M|} \right) \end{equation} \]

其中 \(\vec{x}'_M = (x', y', R^2 / z')\) 是 \(\vec{x}'\) 关于球面 \(r = R\) 的镜像点。