静磁场的基本规律

2026/04/09 8:00

• 静磁场的基本规律

Biot-Savart 定律：

\[ \vec{B}(\vec{x}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{\vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \times (\vec{x} - \vec{x}')}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \]

关于散度和旋度的性质

\[ \nabla \cdot \vec{B}(\vec{x}) = 0, \quad \nabla \times \vec{B}(\vec{x}) = \mu_0 \vec{J}(\vec{x}) \]

证明：

关于散度

\[ \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{B}(\vec{x}) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \nabla \cdot \left( \vec{J}(\vec{x}') \mathrm{d} V' \times \frac{(\vec{x} - \vec{x}')}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \right) \\ &\xlongequal{混合积} \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \cdot \left( \nabla \times \frac{(\vec{x} - \vec{x}')}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \right) \\ &\xlongequal{\frac{(\vec{x} - \vec{x}')}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} = - \nabla \frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}'|}} 0 \end{aligned} \]

关于旋度

令 \(A = \nabla, B = \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V', C = \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3}\)，

\[ \begin{aligned} \nabla \times \vec{B}(\vec{x}) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V A \times (B \times C) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \epsilon_{ijk} A_j \epsilon_{klm} B_l C_m \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V (\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) A_j B_l C_m = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V (B_i A_j C_j - B_j A_j C_i) \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \left( \nabla \cdot \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \right) - \int_V \Big(\vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \cdot \nabla \Big) \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \\ \end{aligned} \]

注意到

\[ \nabla \cdot \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} = 4\pi \delta(\vec{x} - \vec{x}'), \quad \nabla \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} = - \nabla' \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \]

上式化为

\[ \mu_0 \vec{J}(\vec{x}) + \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \Big(\vec{J}(\vec{x}') \, \mathrm{d} V' \cdot \nabla' \Big) \frac{\vec{x} - \vec{x}'}{|\vec{x} - \vec{x}'|^3} \]

矢势的引入

\[ \vec{E} \cdot d\vec{l} = \mathrm{d} \phi \]

\[ \begin{aligned} & \vec{E} = - \nabla \phi && \phi \mapsto \phi + C \\ & \vec{B} = \nabla \times \vec{A} && \vec{A} \mapsto \vec{A} + \nabla f \end{aligned} \]

给电势加上一个常数，或者给磁矢势加上一个梯度项，电磁场都是不变的，这称为规范变换（gauge transformation）。规范变换本质是一种冗余，比如说任意标量函数 \(f\) 都可以用来生成一个新的磁矢势 \(\vec{A}' = \vec{A} + \nabla f\)；但这也带来了好处。

可以在构型空间中切一个截面，每个等价类在上面有一个代表点，只要研究这个截面即可

通常取库伦规范

\[ \nabla \cdot \vec{A} = 0 \]

静电和静磁的对比

我们已经知道

\[ \begin{array}{c} \nabla \cdot \vec{E} \neq 0, \quad \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E} = 0, \quad \nabla \times \vec{B} \neq 0 \end{array} \]

设想，能否把这两个场合在一起？也就是说，构造

\[ \vec{v}(\vec{x}) = \vec{u}(\vec{x}) + \vec{w}(\vec{x}) \]

\(\vec{u}, \vec{w}\) 满足

\[ \begin{array}{c} \nabla \cdot \vec{u} = a(\vec{x}), \quad \nabla \cdot \vec{w} = 0 \\ \nabla \times \vec{u} = 0, \quad \nabla \times \vec{w} = \vec{b}(\vec{x}) \end{array} \]

这样就有 \(\nabla \cdot \vec{v} = a(\vec{x})\) 和 \(\nabla \times \vec{v} = \vec{b}(\vec{x})\). 能否直接将 \(\vec{E}, \vec{B}\) 与 \(\vec{u}, \vec{w}\) 对应？

不能。原因在于宇称（见下一讲）。