理想点源在外电场中的能量与受力，格林函数

2026/03/31 10:00

• 理想点源在外电场中的能量与受力
• 格林函数
• 静电场中的边界问题
• 镜像法

小补充：对于二阶张量 \(m_{ij}\)，总可以分解为对称部分和反对称部分

\[ m_{ij} = \frac{m_{ij} + m_{ji}}{2} + \frac{m_{ij} - m_{ji}}{2} \]

后面要讲的旋转操作，是分别单独作用在这两部分。而（正如在电多极子中讨论的）对称部分又可分解为无迹部分和迹（\(m_{ij} \delta_{ij}\)）。

理想点源在外电场中的能量与受力

能量

小区域内有电荷 \(Q\)，要让这个小区域趋近于一个点 \(O\)（体积 \(|V| \to 0\)），能量为

\[ E = \int_V \rho(\vec{x}) \, d^3 \vec{x} \, \boxed{\phi_{\text{外}}(\vec{x})} \]

猜公式：

• \(Q\) 对应 \(\phi(\vec{O})\)
• \(p_i\) 与谁对应呢？因为 \(E\) 是一个标量，\(p_i\) 有一个指标，所以必须构造一个矢量与之缩并 \(\implies \partial_i \phi(\vec{O})\). 量纲也是对的！
• \(p_{ij}\) 自然对应 \(\partial_i \partial_j \phi(\vec{O})\)

对 \(\phi(\vec{x})\) 在点 \(O\) 处进行泰勒展开：

\[ \phi(\vec{x}) = \phi(\vec{O}) + x_i \partial_i \phi(\vec{O}) + \frac{1}{2} x_i x_j \partial_i \partial_j \phi(\vec{O}) + \cdots \]

代入能量表达式：

\[ \begin{aligned} \ell = 0: \qquad & E = \underset{Q}{\underbrace{\int_V \rho(\vec{x}) \, d^3 \vec{x}}} \, \phi_{\text{外}}(\vec{O}) \\ \ell = 1: \qquad & E = \underset{p_i}{\boxed{\int_V \rho(\vec{x}) \, d^3 \vec{x} \, x_i}} \, \partial_i \phi_{\text{外}}(\vec{O}) \\ \ell = 2: \qquad & E = \boxed{\int_V \rho(\vec{x}) \, d^3 \vec{x} \, \frac{1}{2} x_i x_j} \, \partial_i \partial_j \phi_{\text{外}}(\vec{O}) \end{aligned} \]

注意到，方框里框出来的东西并不是电四极矩的确切表达式：

\[ p_{ij}^{(2)}(\vec{x}) = \frac{3 x_i x_j - |\vec{x}|^2 \delta_{ij}}{2} \]

但是好消息是，多出来的项中的 \(\delta_{ij}\) 与方框后面的 \(\partial_i \partial_j\) 会缩并为 \(\nabla^2\) 算子，而外场没有电荷，即 \(\nabla^2 \phi_{\text{外}}(\vec{O}) = 0\)，所以多出来的项对能量没有贡献！将 \(p_{ij}^{(2)}(\vec{O})\) 配凑到能量表达式中，可以得到

\[ E = \frac{1}{3} \boxed{\int_V \rho(\vec{x}) \, d^3 \vec{x} \, \frac{3 x_i x_j - |\vec{x}|^2 \delta_{ij}}{2}} \, \partial_i \partial_j \phi_{\text{外}}(\vec{O}) = \frac{1}{3} p_{ij} \, \partial_i \partial_j \phi_{\text{外}}(\vec{O}) \]

对于一般情形，\(p_{i_1 i_2 \ldots i_\ell}\) 中的 \(\delta\) 总会使 \(\partial_{i_1} \partial_{i_2} \ldots \partial_{i_\ell}\) 中出现缩并

受力

从原点 \(O\) 出发，假想点源在外电场作用下移动到 \(\vec{x}\) 处。将 \(\phi(\vec{x})\) 在点 \(O\) 处进行泰勒展开 \(\phi(\vec{x}) = \phi(\vec{O}) + x_j \partial_j \phi(\vec{O}) + \ldots\) 代入受力表达式：

\[ \begin{aligned} \vec{F} \cdot \vec{x} &= E(\vec{O}) - E(\vec{x}) \\ &= \# \; \cancel{p_{i_1 i_2 \ldots i_\ell} \partial_{i_1} \partial_{i_2} \ldots \partial_{i_\ell} \phi(\vec{O})} - \# \; (\cancel{p_{i_1 i_2 \ldots i_\ell} \partial_{i_1} \partial_{i_2} \ldots \partial_{i_\ell} \phi(\vec{O})} + p_{i_1 i_2 \ldots i_\ell} \partial_{i_1} \partial_{i_2} \ldots \partial_{i_\ell} x_j \partial_j \phi(\vec{O})) \end{aligned} \]