平面电磁波
2026/05/26 10:00
- 平面电磁波
- 球面电磁波
单色电磁波¶
在讨论电磁波问题时，为了方便起见，都在复数域中讨论，最后取实部即可。记傅里叶变换为
\[ A_\mu (t, \vec{x}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \]
由于 \(A_\mu (t, \vec{x}) \in \mathbb{R}^4\)，即 \(A_\mu (t, \vec{x}) = A_\mu^*(t, \vec{x})\)，这就要求 \(A_\mu (\omega; t, \vec{x})\) 满足共轭对称性：
\[ A_\mu (-\omega; t, \vec{x}) = A_\mu^*(\omega; t, \vec{x}) \]
则
\[ A_\mu (t, \vec{x}) = \int_{0}^{+\infty} \frac{d \omega}{2\pi} \left( e^{-i \omega t} A_\mu(\omega; t, \vec{x}) + e^{i \omega t} A_\mu^*(\omega; t, \vec{x}) \right) \]
平面电磁波¶
设解为 \(e^{-i \omega t + i \vec{k} \cdot \vec{x}}\). 取洛伦茨规范，将达朗贝尔算符作用在这个相位函数上
\[ \partial_\nu \partial^\nu e^{-i \omega t + i \vec{k} \cdot \vec{x}} = \left( \frac{\omega^2}{c^2} - |\vec{k}|^2 \right) e^{-i \omega t + i \vec{k} \cdot \vec{x}} = 0 \]
得到色散关系
\[ \omega = c |\vec{k}| \]
这样就满足了达朗贝尔方程。定义
\[ k_\mu = \left(- \frac{\omega}{c}, \vec{k} \right), \quad k^\mu = g^{\mu \nu} k_\nu = \left( \frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \]
则相位函数化简为 \(e^{i k_\mu x^\mu}\)
偏振构型¶
假定 \(\vec{k} = (0, 0, k)\)