洛伦兹变换
2026/05/14 8:00
对 \(\Lambda\) 的张量约束条件
\[ g_{\mu \nu} = g'_{\rho \sigma} \left.\Lambda^\rho\right._\mu \left.\Lambda^\sigma\right._\nu \]
如果假定这个二阶张量
\[ \left.\Lambda^\mu\right._\nu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} \]
的各个分量与事件点无关，可以直接积分得到
\[ x'^\mu = \left.\Lambda^\mu\right._\nu x^\nu - a^\mu \]
积分常数 \(a^\mu\) 代表两个观测者之间的平移关系。
旋转变换满足
\[ \mathbf{1} = \mathbf{R}^T \mathbf{R} \]
只考虑时间分量和第三个空间分量，\(\mathbf{B} = \|\left.\Lambda^{\cdot}\right._\cdot\|, \; (\cdot) = 0, 3\) 满足
\[ \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{B}^T \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \mathbf{B} \]
尝试将这个式子往旋转变换的形式转化。左边的矩阵类似于单位阵，只是左上角元素差了个负号。数学上的技巧是将其分解为
\[ \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \]
其实还有很多分解方法（比如 \(\mathrm{i} \to -\mathrm{i}, \, 1 \to -1\)），因为上面的式子是二次依赖的（形如 \(a^2 = 1\) 的方程有两个解），但这个分解最为简单。代入上式得
\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} &= \mathbf{B}^T \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \mathbf{B} \\[2ex] \implies \mathbf{1} &= \underset{\text{“}\mathbf{R}\text{”}^T}{\underbrace{\begin{pmatrix} -\mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \mathbf{B}^T \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix}}} \, \underset{\text{“}\mathbf{R}\text{”}}{\underbrace{\begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \mathbf{B} \begin{pmatrix} -\mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix}}} \end{aligned} \]
所以
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -\mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \text{“}\mathbf{R}\text{”} \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \tilde{\theta}_{03} & \sin \tilde{\theta}_{03} \\ -\sin \tilde{\theta}_{03} & \cos \tilde{\theta}_{03} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{i} & \\ & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \tilde{\theta}_{03} & -\mathrm{i} \sin \tilde{\theta}_{03} \\ -\mathrm{i} \sin \tilde{\theta}_{03} & \cos \tilde{\theta}_{03} \end{pmatrix} \]
但我们期待 \(\mathbf{B}\) 是一个实矩阵！所以 \(\tilde{\theta}_{03}\) 得是纯虚数（一般的复数有两个自由度，就没必要考虑了）。令 \(\tilde{\theta}_{03} = -\mathrm{i} \theta_{03}\)（加负号只是为了后面导出的速度关系好看些），得到
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \cosh \theta_{03} & -\sinh \theta_{03} \\ -\sinh \theta_{03} & \cosh \theta_{03} \end{pmatrix} \]
现在来考虑速度的变换关系。测量同一个质点，A 测得的坐标为 \((x^0, \vec{x})\)，B 测得 \((x'^0, \vec{x}')\)。对于速度的第三个分量，A 给出 \(d x^3/d x^0\)，B 给出 \(d x'^3/d x'^0\). 由 0,3 分量的变换关系
\[ \begin{equation} \tag{10.2} \label{eq:coord_transform_03} \begin{pmatrix} x'^0 \\ x'^3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \theta_{03} & -\sinh \theta_{03} \\ -\sinh \theta_{03} & \cosh \theta_{03} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^3 \\ \end{pmatrix} \end{equation} \]
得
\[ \begin{aligned} \frac{d x'^3}{d x'^0} &= \frac{-\sinh \theta_{03} d x^0 + \cosh \theta_{03} d x^3}{\cosh \theta_{03} d x^0 - \sinh \theta_{03} d x^3} \\ \implies \frac{v'^3}{c} &= \frac{-\sinh \theta_{03} + \cosh \theta_{03} v^3/c}{\cosh \theta_{03} - \sinh \theta_{03} v^3/c} \end{aligned} \]
若 B 就是那个质点，在 B 自己看来 \(v'^3 = 0\)，记 A 眼中 B 的速度为 \(u^3\)，则上式分子为零 \(-\sinh \theta_{03} + \cosh \theta_{03} u^3/c = 0\)，解得
\[ \begin{equation} \tag{10.3} \label{eq:velocity_rapidity_relation} \boxed{ u = c \tanh \theta_{03} } \end{equation} \]
速度 \(u\) 和 \(\theta_{03}\) 通过双曲正切联系，可以发现两者为单调递增的关系，且 \(u\) 的上界为 \(c\). 因此 \(\theta_{03}\) 可视为表征速度的参数，称为快度（rapidity）。
下面用速度表示坐标变换关系 \eqref{eq:coord_transform_03}. 由 \eqref{eq:velocity_rapidity_relation} 式和 \(\cosh^2 - \sinh^2 = 1\) 可得 \(\cosh \theta_{03} = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}\)，\(\sinh \theta_{03} = u/c \cdot 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}\)，代入 \eqref{eq:coord_transform_03} 得
\[ \begin{pmatrix} x'^0 \\ x'^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} & -\frac{u/c}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \\ -\frac{u/c}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} & \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^3 \end{pmatrix} \]
记 \(x^0 = ct, \, x'^0 = c t'\)，上式就变成了熟悉的形式：
\[ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} t' &= \frac{t - u x^3/c^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \\ x'^3 &= \frac{x^3 - u t}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \end{aligned} \right. \end{equation} \]
此即洛伦兹变换（Lorentz transformation）。
导出了洛伦兹变换，并不意味着我们已经进入了狭义相对论的讨论。洛伦兹变换只是为了让麦克斯韦方程组与等效原理相协调，所导出的时空变换关系。
狭义相对论更关心的是，物质的运动规律在洛伦兹变换下如何协调。
电磁场的能量和动量
之前我们讨论能量的时候，都是在静电场。因为电场可以对带电物体做功。不在静磁场中讨论，是因为带电物体在磁场中受到的洛伦兹力和速度相关，并且处处垂直，我们无法通过对带电物体的观测来推知静磁场的能量。但是我们相信，静磁场肯定是有能量的！不可能有一个没有能量的东西平白无故产生出一个磁场。
但我们连静磁场的能量都不知道，怎么能讨论电磁场的能量呢？
已知：
- 静电
- 能量守恒
-
电荷守恒
能量、电荷都是可加量，对于一个可延展的系统，我们的问题是，他们在系统中是怎么分布的。当我们讨论分布的密度、时间上的变化率时（选取时间切片考察通过截面的物理量的多少），自然避不开讨论通量、流量这些概念。
\[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \implies \mathrm{d} \mathcal{I} = 0 \]
其中
\[ \begin{aligned} \mathcal{I} &= Z \rho \, dx^{123} - \mu_0 J^1 \, d x^{023} + \cdots \\ &= \frac{1}{3!} I_{\mu \nu \rho} \, d x^{\mu \nu \rho} = \frac{1}{3!} I^{\sigma} \epsilon_{\sigma \mu \nu \rho} \, d x^{\mu \nu \rho} \end{aligned} \]
这里 \(I^{\sigma} = (Z \rho, \mu \vec{J})\) 称为四电流。外微分 \(\mathrm{d} \mathcal{I} = 0\) 可以化为
\[ \partial_\mu I^\mu = 0 \]
对于形如
\[ \partial_\mu T^{\mu \cdots} = 0^{\cdots} \]
的方程，这往往意味着对于 \(\mu\) 指标存在守恒性（连续流）