场的统一描述：张量

2026/04/23 8:00

• 三维空间中（规范）场的统一描述
  • 矢量
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  • 张量

张量的物理

如果把张量当作一个纯粹的数学工具，是 OK 的，但是张量的背后也有物理意义。在直角坐标系下，\(\vec{E} = E_i d x_i\)，得到三个分量 \((E_1, E_2, E_3)\). 如果换了个坐标系，这三个数字肯定不能直接拿来用，变成 \((E_1', E_2', E_3')\). 但这新的三个分量不是任意的，因为我们讨论的物理对象是同一个东西，它不依赖于坐标系的选择。

对于微分形式 \(\omega\) 也是如此。如果我们要计算某种物理量，计算式子总是会长成这种形式：

\[ \int_{\Sigma} \omega \]

积分本质上就是求和，不同的坐标系下，积分有不同的表达式，但是讨论的物理图像是没有变的。所以 \(\omega\) 实际上是一个几何概念。

协变

从 \((u_1, u_2, u_3)\) 变换到 \((u_1', u_2', u_3')\)，利用链式法则：

\[ \mathcal{E} = E_i d u_i = E_j' d u_j' = E_j' \frac{\partial u_j'}{\partial u_i} d u_i \implies E_i = E_j' \frac{\partial u_j'}{\partial u_i} \]

从 \((u_1', u_2', u_3')\) 变换到 \((u_1, u_2, u_3)\)，同理有

\[ E_j' = E_i \frac{\partial u_i}{\partial u_j'} \]

这两个表达式很像，容易搞错。不妨引入一个聪明的办法：对于哑指标，一上一下才能配对求和。把坐标的指标写在上面，就有

\[ E_i d u^i = E_j' d u'^j = E_j' \frac{\partial u'^j}{\partial u^i} d u^i \implies E_i = E_j' \frac{\partial u'^j}{\partial u^i} \]

因为 \(\partial u^i\) 在分母，所以 \(i\) 变成下标。同样地，有

\[ E_j' = E_i \frac{\partial u^i}{\partial u'^j} \]

之后便不用从链式法则推导变换关系的指标在哪，直接根据哑指标“一上一下”的规则就能写出来。满足

\[ \begin{aligned} E_i &= E_j' \frac{\partial u'^j}{\partial u^i} \\ E_j' &= E_i \frac{\partial u^i}{\partial u'^j} \end{aligned} \]

的张量称为协变张量（covariant tensor）。

逆变

从方向导数出发，考虑标量场 \(f\) 在 \(\vec{v}\) 方向上的变化率：

\[ \vec{v} \cdot \nabla f = v_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \]

将上面协变的方法引入，写成

\[ v^i \frac{\partial f}{\partial u^i} = v'^j \frac{\partial f}{\partial u'^j} \]

使用链式法则 \(\frac{\partial}{\partial u'^j} = \frac{\partial u^i}{\partial u'^j} \frac{\partial}{\partial u^i}\)，得到

\[ v^i = v'^j \frac{\partial u^i}{\partial u'^j} \]

这个式子也可以提笔就写，因为 \(j\) 是哑指标就要求 \(\partial u'^j\) 在分母。从而得到逆变张量（contravariant tensor）的变换关系：

\[ \begin{aligned} v^i &= v'^j \frac{\partial u^i}{\partial u'^j} \\ v'^i &= v^j \frac{\partial u'^i}{\partial u^j} \end{aligned} \]

注意逆变的指标在上面，协变的指标在下面。对于有多个指标的张量 \(T_{ijkl \ldots}\)，对每个指标分别做对应的变换操作。例如，\(\left. T_i \right.^j\) 称为混合型（mixed）张量，它的变换关系为

\[ \left. T_i \right.^j = \left. T'_k \right.^l \frac{\partial u'^k}{\partial u^i} \frac{\partial u^j}{\partial u'^l} \]

Remarks

1. 回头看“一上一下”的规则，凭啥就是这样的呢？考虑 \(A_i B^i\) 的变换关系：

   \[ \begin{aligned} A_i B^i &= A'_k \frac{\partial u'^k}{\partial u^i} B'^l \frac{\partial u^i}{\partial u'^l} \\ &= A'_k B'^l \frac{\partial u'^k}{\partial u'^l} = A'_k B'^l \delta^k_l \\ &= A'_k B'^k \end{aligned} \]

   所以 \(A_i B^i\) 在不同的坐标下讨论的都是把各个分量加在一起，物理意义是一样的。

2. 考虑空间中的一段线元 \(|d \vec{l}|^2 = d s^2\)，在不同坐标系下，线元的表达式不同，但物理意义是一样的，都是同一段小线段（所以 \(d s^2\) 也是一个几何概念）。坐标本身是逆变的

   \[ d s^2 = \boxed{?} \, d u^i d u^j = g_{ij} d u^i d u^j \]

   怎么样才能把两个上标求和掉？引入一个度规张量（metric tensor）\(g_{ij}\)，它是一个协变张量（只有下标），且显然是对称的 \(g_{ij} = g_{ji}\). 度规有性质

   \[ \left \{ \begin{aligned} & \| g_{ij} \| \| g^{jk} \| = \| \delta_i^k \| \\ &g_{ij} g^{jk} = \delta_i^k \end{aligned} \right. \]

3. 体元

   \[ d V = d x_1 \wedge d x_2 \wedge d x_3 = \# \, d u^1 \wedge d u^2 \wedge d u^3 \]

   想知道 \(\#\) 是什么。现在式子左边还没有张量，没法坐标变换，引入 Levi-Civita 符号，并考虑由此带来的重数 \(3!\)，得到

   \[ \begin{aligned} d V &= \frac{1}{3!} \epsilon_{ijk} d x^i \wedge d x^j \wedge d x^k = \frac{1}{3!} \epsilon_{ijk} \boxed{?} \, d u^i \wedge d u^j \wedge d u^k \\ \end{aligned} \]